Нехай — довільна періодична функція з періодом 2 . Припустимо, що функція розкладається в тригонометричний ряд, тобто є сумою ряду

(2)

Оскільки функція (і сума ряду) має період 2π, то її можна розглядати на будь-якому проміжку довжини 2π. За основний проміжок візьмемо відрізок [-π; π] (також зручно взяти відрізок [0;2π]) і припустимо, що ряд (2) на цьому проміжку можна почленно інтегрувати. Обчислимо коефіцієнти а_n і b_n. Для цього проінтегруємо обидві частини рівності (9.12) в межах від –π до π:

Інтеграли від всіх, крім нульового, членів ряду дорівнюють.

Звідси (3)

n = 1,2,3... (4)

n = 1,2,3... (5)

Числа , а_n, b_n, визначені по формулах, називаються коефіцієнтами Фур’є функції , а тригонометричний ряд з такими коефіцієнтами — рядом Фур’є функції .

Для функції, що інтегрується на відрізку [-π;π] записують

~

і говорять: функції відповідає (поставлений у відповідність) її ряд Фур’є. Якщо ряд Фур’є сходиться, то його суму позначимо .

Розкладання 2 π -періодичних функцій в ряд Фур’є

Будемо розглядати функції , що мають період Т = 2π. Такі функції називають 2π - періодичними.

Сформулюємо теорему, що дає достатню умову розкладання функції в ряд Фур’є.

Теорема (Діріхле). Нехай 2π - періодична функція на відрізку [-π;π] задовольняє двом умовам:

1. кусково-неперервна, тобто неперервна або має кінцеве число точок розриву 1 роду;

2. кусково-монотонна, тобто монотонна на всьому відрізку, або цей відрізок можна розбити на скінченне число інтервалів так, що на кожному з них функція монотонна.

Тоді відповідній функції ряд Фур’є сходиться на цьому відрізку і при цьому:

1. В точках неперервності функції сума ряду співпадає з самою функцією:

;

2. В кожній точці розриву функції сума ряду дорівнює

тобто дорівнює середньому арифметичному значенню функції справа і зліва;

3. В точках х = -π і (на кінцях відрізка) сума ряду дорівнює

Таким чином, якщо функція задовольняє умовам 1 і 2 теореми (умови Діріхле), то на відрізку [-π;π] має місце розклад:

при чому коефіцієнти обчислюються по формулах (3) -(5). Ця рівність може порушитися тільки в точках розриву функції і на кінцях відрізка [-π;π].

Через періодичність початкової функції і суми ряду Фур’є може бути отримано вказаний розклад у всій області визначення функції.

Зауваження.

1. Якщо функція з періодом 2π на відрізку [0;2π] задовольняє умовам Діріхле, то для неї має місце розклад (2), де коефіцієнти обчислюються по формулах

n = 1,2,3,...,

n = 1,2,3,...,

(Інтеграли і рівні згідно властивості періодичної функції )

2. Умовам Діріхле задовольняють більшість функцій, які зустрічаються в математиці і її додатках. Існують функції, що не задовольняють умовам Діріхле, але при цьому розкладаються в ряд Фур’є, тобто теорема Діріхле дає лише достатню умову розкладності, але не необхідну.

Приклад 1. Розкласти в ряд Фур’є функцію періоду 2π, задану на відрізку [-π;π] формулою

Рис. 1

○ На рисунку 3 зображений графік функції . Ця функція задовольняє умовам Діріхле, значить, вона розкладається в ряд Фур’є. Знаходимо коефіцієнти ряду:

Інтегруємо по частинах:

Аналогічно знаходимо .

Початкової функції відповідає ряд Фур’є

~

Функція неперервна у всіх внутрішніх точках відрізка [-π;π], тому, згідно теоремі Діріхле, для всіх цих точок маємо рівність = тобто

В точках х=±π сума ряду дорівнює

.

Графіки функцій і показані на рис.1. ●

Розкладання в ряд Фур’є парних і непарних функцій

Якщо розкладена на відрізку [-π;π] в ряд Фур’є функція є парною або непарною, то це відображається на формулах коефіцієнтів Фур’є (обчислення їх спрощується) і на виді самого ряду (він стає так званим неповним).

Якщо функція парна, то її ряд Фур’є має вигляд

де

Якщо функція непарна, то її ряд Фур’є має вигляд

(6)

де (7)

Ряди (7) і (6) називаються неповними тригонометричними рядами, або рядами по косинусах і по синусах відповідно.

Приклад 2. Розкласти в ряд Фур’є функцію = х, .

Рис. 2.

○ На рисунку 2 зображений графік заданої функції. Умовам Діріхле функції задовольняє. Ця функція – непарна. Отже,

тобто . Ряд Фур’є містить тільки синуси:

При цьому (див. рис. 2). ●

Розкладання в ряд Фур’є функцій довільного періоду

Розкладати в ряд Фур’є можна і періодичні функції з періодом, відмінним від 2π.

Нехай функція , визначена на відрізку [-l;l], має період 2l ( , де l- довільне додатнє число) і задовольняє на цьому відрізку умовам Діріхле.

Зробивши підстановку дану функцію перетворимо у функцію φ(t) яка визначена на відрізку [-π;π] і має період Т = 2π.

Дійсно, якщо то якщо то і при маємо φ φ тобто φ φ

Розкладання функції φ в ряд Фур’є на відрізку [-π;π] має вигляд

φ

де φ (n = 0,1,2,...),

φ (n = 1,2,...).

Повертаючись до змінної і позначивши, що отримаємо

(8)

де (n = 0,1,2,...),

(n = 1,2,...). (10.7)

Ряд (8) з коефіцієнтами, що обчислюються за формулами (10.7), називається рядом Фур’є для функції з періодом Т = 2l.

Зауваження. Всі теореми, що мають місце для рядів Фур’є 2π-періодичних функцій, залишаються в силі і для рядів Фур’є функцій, період яких Т = 21. Зокрема, якщо на відрізку [- ; ] парна, то її ряд Фур’є має вигляд

(9)

де n = 1,2,...; (10)

якщо - непарна функція, то (11)

де n = 1,2,... (12)

Приклад 3. Розкладіть функцію = х на інтервалі (-4; 4) в ряд Фур’є.

○ Дана функція непарна, задовольняє умовам Діріхле. По формулах (11) і (12), при I = 4, маємо: де n = 1,2,3,...

Обчислюємо :

n = 1,2,3,...

Таким чином

для –4< <4. ●

Література:

ОЛ1 стр.540-545

Лекція 53-54. Елементи комбінаторики

1. Поняття про комбінаторику.

2. Перестановки.

3. Розміщення.

4. Комбінації.

5. Біном Ньютона.

Представникам різних професій доводиться розв'язувати за­дачі, в яких з деякої множини об'єктів потрібно вибирати еле­менти, що мають ті або інші властивості, розміщувати ці еле­менти в певному порядку. Так керівнику цеху потрібно розпо­ділити кілька видів робіт між працівниками, агроному — роз­містити посіви сільськогосподарських культур на кількох по­лях, хіміку — розглянути можливі зв'язки між атомами і моле­кулами тощо. Оскільки в таких задачах йде мова про комбіну­вання об'єктів, їх називають комбінаторними задачами, а розділ математики, в якому вивчаються питання про те, скільки різних комбінацій, що відповідають тим чи іншим умовам можна скла­сти із заданих об'єктів, називається комбінаторикою.

В наш час комбінаторні задачі приходиться розв'язувати фізи­кам, хімікам, біологам, економістам, спеціалістам самих різних професій.

Коли ми говорили про множину, то порядок розміщення еле­ментів в множині не враховувався. Нерідко розглядають і впо­рядковані множини.

Будь-яка впорядкована множина, яка складається з n елементів, називається перестановкою з n елементів і позначається Р_n.

Таким чином, перестановки з n елементів відрізняються між собою лише порядком елементів.

Два елементи а і b можна упорядкувати двома способами: ab і bа. Це дві перестановки з елементів a і b. Отже, Р₂ = 2.

Щоб утворити перестановки з трьох елементів а, b, с можна третій елемент с помістити попереду пари ab, посередині пари аb та вкінці пари ab:

cab, acb, abc.

Точно так із пари bа можна одержати:

cba, bca, bac.

Отже, для трьох елементів існує 2 · 3 = 6 способів розташу­вання по порядку, число перестановок з трьох елементів дорів­нює 6. P₃ = 2 · 3 = 6.

Нехай маємо k елементів, із яких складені всі можливі Р_k перестановки. Візьмемо одну із них: а₁а₂а₃...а_k. Добавимо ще один (k + 1)-й елемент. Його можна помістити:

1) перед першим елементом а₁;

2) перед другим елементом а₂;

3) перед третім елементом a₃;

……………………………………

k) перед k-им елементом а_k;

(k + 1) в кінці всіх елементів, тобто, всього k + 1 способом.

О тже, кількість перестановок із k + 1 елементів в (k + 1) раз більша, ніж число перестановок із k елементів, тобто,

.

Отже,

P₁ ⁼ 1;

P₂ = P₁ · 2 = 1 · 2 = 2;

P₃ = P₂ · 3 = 1 · 2 · 3 = 6;

P₄ = Рз · 4 = 1 · 2 · 3 · 4 = 24;

P₅ = P₄ · 5 = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 = 120;

………………………………

P_k = P_k-1 · k = 1-2· 3 ·... · k;

P_k+1=P_k · (k+1) = 1 · 2 · 3 ·...· k · (k+l).

Добуток натуральних чисел від 1 до даного натурального числа η називається факторіалом числа n і позначається n! В таблиці 14 наведено значення факторіала для значень п від 1 до 10.

Число перестановок з n елементів дорівнює добутку всіх натуральних чисел від 1 до п, тоб­то п! (читають: єн факторіалів).

Задача. Скількома способами можна розставити на майданчику 6 волейболістів?

Розв'язання

P₆ = 6! =l · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 720.

Раніше було з'ясовано, скільки n-елементних упорядкованих множин можна утворити з усіх η елементів де­якої множини.

А скільки m-елементних упорядкованих підмножин можна утворити з n різних елементів, якщо n т? Такі упорядковані підмножини називають розміщеннями з η елементів по т еле­ментів.

Будь-яка впорядкована підмножина з т елементів даної множи­ни, яка містить n елементів, де т n називається розміщенням з n елементів по т елементів.

Число розміщень з n елементів по т позначають символом .

Розглянемо множину {а, Ь, с} і випишемо розміщення з еле­ментів даної множини по два:

ab, bа, ас, са, be, cb.

Отже, = 6.

Знайдемо значення .

Нехай маємо множину, яка містить n елементів. Перший еле­мент m-елементної підмножини можна вибрати n способами; другий елемент — (n - 1) способами; третій елемент — (n - 2) способами; ... m-ий елемент — (п - т + 1) способами.

Отже,

= n · (n – 1) · (n – 2) ·... · (n - m +1),

тобто число розміщень з п елементів по m дорівнює добутку т послідовних натуральних чисел, найбільше з яких n.

Якщо п = т, то маємо = Р_n тобто перестановка — окре­мий випадок розміщення.

Нехай дано множину {а, b, с}. З елементів цієї множини мож­на утворити 6 двохелементних розміщень. ab, ас, bс, bа, са, сb.

Це впорядковані підмножини даної множини. А скільки не-впорядкованих двохелементних підмножин можна скласти з тих самих елементів? Тільки три: {ab}, {ас}, {be}.

Будь-яка підмножина з т елементів даної множини, яка містить n елементів, називається комбінацією з n елементів по т еле­ментів.

Число комбінацій з n елементів по т позначають символом . Наприклад: = 3.

З чотирьох елементів множини {a, b, c, d} можна утворити 6 комбінацій по 2 елементи: {а, b}, {а, с}, {а, d}, {b, с}, {с, а}, {b. d}; 3 комбінації по 3 елементи: {а, b, с}, {а, b, d}, {b, с, d}.

Таким чином, = 6, = 3.

Домовилися вважати, що

= 1, = n , = 1.

Виведемо формулу для знаходження значень , для цього порівняємо числа і при одних і тих же значеннях т і п.

Кожну m-елементну комбінацію можна впорядкувати Р_m спо­собами. У результаті з однієї комбінації утворюється розмі­щень (упорядкованих підмножин) з тих самих елементів. Отже, число m-елементних комбінацій у Р_m разів менше за число роз­міщень з тих самих елементів. Тобто = • , звідси

Число комбінацій з n елементів по т дорівнює дробу, чисель­ник якого е добуток т послідовних натуральних чисел, найбіль­ше з яких n, а знаменник дробу — добуток т послідовних нату­ральних чисел.

Враховуючи, що можна одержати . Отже,

Приклад. Обчислити a) ; б) .

a) ; б)

Задача. Скількома способами з 25 учнів можна вибрати 3 черго­вих.