Теорема (ознака Лейбніца). Знакопочерговий ряд (1) збігається, якщо:

1. Послідовність абсолютних величин членів ряду монотонно спадає, тобто

2. Загальний член ряду прямує до нуля: При цьому сума ряду (1) задовольняє нерівностям

(2).

Зауваження:

1. Дослідження знакопочергового ряду вигляду

(3)

(з від’ємним першим членом) зводиться шляхом множення всіх його членів на (1) до дослідження ряду (1).

Ряди (1) і (3), для яких виконуються умови теореми Лейбніца, називаються лейбніцевськими (або рядами Лейбніца).

2. Співвідношення (2) дозволяє отримати просту і зручну оцінку помилки, яку ми допускаємо, замінюючи суму S даного ряду його частинною сумою Відкинутий ряд (остача) є також знакопочерговим рядом сума якого по модулю менша першого члена цього ряду, тобто Тому помилка менша модуля першого з відкинутих членів.

Приклад 1. Обчислити приблизно суму ряду

○ Даний ряд лейбніцевського типу. Він збігається. Можна записати: Взявши п'ять членів, тобто замінивши на

зробимо помилку, меншу, ніж Отже, ●

Загальна достатня ознака збіжності знакозмінних рядів.

Знакопочерговий ряд є окремим випадком знакозмінного ряду. Числовий ряд що містить нескінченну множину додатніх і нескінченну множину від’ємних членів, називається знакозмінними.

Для знакозмінних рядів має місце наступна загальна достатня ознака збіжності.

Теорема. Нехай даний знакозмінний ряд

(4)

Якщо збігається ряд

(5)

складений з модулів членів даного ряду, то збігається і сам знакозмінний ряд (4).

Приклад 2. Дослідити збіжність ряду

○ Це знакопочерговий ряд, для якого виконуються умови ознаки Лейбніца. Отже, вказаний ряд збігається. Однак ряд, складений з модулів членів даного ряду, тобто ряд

Розбіжний (гармонійний ряд). ●

Абсолютна і умовна збіжності числових рядів. Властивості рядів, що абсолютно збігаються

Знакозмінний ряд називається тим, що абсолютно збігається, якщо ряд, складений з модулів його членів, збігається.

Знакозмінний ряд називається тим, що умовно збігається, якщо сам він збігається, а ряд, складений з модулів його членів, розбіжний.

Основні властивості рядів, що абсолютно збігаються.

1. Якщо ряд абсолютно збігається і має суму , то ряд, отриманий з нього перестановкою членів, також збігається і має ту ж суму , що і початковий ряд (теорема Діріхле).

2. Ряди, що абсолютно збігаються, з сумами і можна почленно додавати (віднімати). В результаті виходить ряд, що абсолютно збігається, сума якого дорівнює (або відповідно ).

3. Під добутком двох рядів і розуміють ряд вигляду

4. Добуток двох рядів, що абсолютно збігаються, з сумами і є ряд, що абсолютно збігається, сума якого дорівнює

Таким чином, ряди, що абсолютно збігаються, додаються, віднімаються, перемножуються як звичайні ряди. Суми таких рядів не залежать від порядку запису членів.

У випадку рядів, що умовно збігаються, відповідні твердження (властивості), взагалі кажучи, не мають місця.

Так, переставляючи члени ряду, що умовно збігається, можна добитися того, що сума ряду зміниться. Наприклад, ряд умовно збігається по ознаці Лейбніца. Нехай його сума дорівнює . Перепишемо його члени так, що після одного позитивного члена йтимуть два негативних. Отримаємо ряд

Сума зменшилася вдвічі!

Література:

ОЛ1 стр.494-498

Лекція 49. Степеневі ряди

1. Поняття степеневого ряду.

2. Інтервал степеневого ряду.

3. Радіус збіжності степеневого ряду.

Ряд, членами якого є функції від x, називається функціональним:

(1).

Надаючи x певне значення x₀, ми одержимо числовий ряд

який може як сходиться, так і розходиться.

Якщо одержаний числовий ряд сходиться, то точка x₀ називається точкою збіжності ряду (1); якщо ж ряд розходиться – точкою розбіжності функціонального ряду. Сукупність числових значень аргументу x, при яких функціональний ряд сходиться, називається його областю збіжності. В області збіжності функціонального ряду його сума є деякою функцією від x: . Визначається вона в області збіжності рівністю

, де - часткова сума ряду.

Приклад 1. Знайти область збіжності ряду .

○ Даний ряд є рядом геометричної прогресії зі значенням q=x. Отже, цей ряд сходиться при , тобто при всіх ; сума ряду рівна : , при . ●

Серед функціональних рядів в математиці особливу роль відіграє ряд, членами якого є степеневі функції аргументу х, тобто так званий степеневий ряд:

(2)

Дійсні (або комплексні) числа називаються коефіцієнтами ряду (2) - дійсна змінна.

Ряд (2) розкладений за степенями х-са. Розглядають також степеневий ряд, розкладений по степенях , тобто ряд вигляду

(3)

де х₀ – деяке постійне число.

Ряд (3) легко привести до вигляду (2), якщо покласти, що x-x₀ = z. Тому при вивченні степеневий рядів можемо обмежиться степеневими рядами вигляду (2).

Збіжність степеневих рядів

З'ясуємо питання про збіжність степеневого ряду (2).

Область збіжності степеневого ряду містить принаймні одну точку х = 0 (ряд (3) сходиться в точці х = х₀).

Теорема Н.Абеля

Про область збіжності степеневого ряду можна судити, виходячи з наступної теореми.

Теорема Якщо степеневий ряд (2) сходиться при , то він абсолютно сходиться при всіх значеннях х, що задовольняють нерівності .

Наслідок. Якщо ряд (2) розходиться при х = х₁, то він розходиться і при всіх х, що задовольняють нерівності .

Інтервал і радіус збіжності степеневого ряду

З теореми Абеля виходить, що якщо є точка збіжності степеневого ряду, то інтервал весь складається з точок збіжності даного ряду; при всіх значеннях х поза цим інтервалу ряд розходиться.

Інтервал називають інтервалом збіжності степеневого ряду. Поклавши, що , інтервал збіжності можна записати у вигляді . Число R називають радіусом збіжності степеневого ряду, тобто R > 0 — це таке число, що при всіх х, для яких , ряд абсолютно сходиться, а при ряд розходиться (див. рис. ).

Знаходження радіусу збіжності степеневого ряду можна здійснити таким чином. Складемо ряд з модулів членів даного степеневого ряду

і застосуємо до нього ознаку Даламбера. Припустимо, що існує границя

,

За ознакою Даламбера ряд сходиться, якщо , тобто ряд сходиться при тих значеннях x, для яких

;

Ряд, складений з модулів членів ряду , розходиться при тих значеннях х, для яких . Таким чином, для ряду радіус абсолютної збіжності

Аналогічно, скориставшись радикальною ознакою Коші, можна встановити, що

Зауваження:

Якщо , то можна переконатися, що ряд (2) абсолютно сходиться на всій числовій осі. В цьому випадку .

Якщо , то R=0 . Інтервал збіжності степеневого ряду (3), що шукається з нерівності ; має вигляд .

Приклад 1. Знайти область збіжності ряду

○

. Отже, даний ряд абсолютно сходиться на всій числовій осі. ●

Приклад 2. Знайти область збіжності ряду

○ Заданий ряд неповний. Скориставшись ознакою Даламбера для даного ряду, маємо: , , .

Ряд абсолютно сходиться, якщо х₂ < 1 або -1 < х < 1. Дослідемо поведінку ряду на кінцях інтервалу збіжності. При х = -1 маємо ряд , який сходиться за ознакою Лейбніца. При х = 1 маємо ряд - цей ряд теж сходиться за ознакою Лейбніца. Отже, областю збіжності початкового ряду є відрізок [-1;1]. ●

Приклад 3. Знайти область збіжності ряду .

○ Знайдемо радіус збіжності ряду за формулою (5.1):

.

Отже, ряд сходиться при -2 < х + 2 < 2, тобто при -4 < х < 0. При х = - 4 маємо ряд , який сходиться за ознакою Лейбніца. При х = 0 маємо ряд, що розходиться .

Отже, областю збіжності початкового ряду є піввідрізок [- 4;0). ●

Властивості степеневих рядів

Сформулюємо без доказу основні властивості степеневий рядів.

1. Сума S(x) степеневого ряду (2) є неперервною функцією в інтервалі збіжності (-R; R).

2. Степеневі ряди і , мають радіуси збіжності відповідно R₁ і R₂, можна почленно складати, віднімати і множити. Радіус збіжності добутку, суми і різниці рядів не менше ніж менше з чисел R₁ і R₂.

3. Степеневий ряд усередині інтервалу збіжності можна почленно диференціювати, при цьому для ряду

при - R < х < R виконується рівність

4. Степеневий ряд можна почленно інтегрувати на кожному відрізку, розташованому усередині інтервалу збіжності; при цьому для ряду при

-R < а < х < R виконується рівність.

Література:

ОЛ1 стр.520-525

Лекція 50. Розкладання функцій в степеневий ряд

1. Розкладання елементарних функцій в ряд Маклорена

2. Розкладання елементарних функцій в ряд Тейлора.

Як відомо, для будь-якої функції f(x), визначеної в околі точки x₀ і має в ній похідні до (n+1) -го порядку включно, справедлива формула Тейлора:

(1)

де - залишковий член у формі Лагранжа. Число с можна записати у вигляді , де 0 < ³ < 1. Формулу (1) можна подати у вигляді ,

де - многочлен Тейлора.

Якщо функція f(x) має похідні будь-яких порядків (тобто нескінченно дифференційована) в околі точки x₀ і залишковий член R_n(x) прямує до нуля при , то з формули Тейлора можна розкласти функцію f(x) по степенях (х – x₀), і отримати так званий ряд Тейлора:

(2)

Якщо у ряді Тейлора покласти, що x₀ = 0, то отримаємо функцію розкладену по степенях х в так званий ряд Маклорена:

(3)

Відзначимо, що ряд Тейлора можна формально побудувати для будь-якої функції (це необхідна умова), що нескінченно диференціюється, в околі точки x₀. Але звідси ще не випливає, що він сходиться до даної функції f(x); він може як розходитись, так і сходитись, але не до функції f(x). Так, наприклад, функція

має в точці х = 0 похідні всіх порядків, причому при будь-якому n. Ряд Маклорена має вигляд

Він сходиться, але його сума S(x) в будь-якій точці х рівна нулю, а не f(х). Нехай для функції f(х) складений відповідний їй ряд Тейлора.

Розкладання деяких елементарних функцій в ряд Тейлора (Маклорена)

Для розкладання функції f(x) в ряд Маклорена (6.3) потрібно:

а) знайти похідні ;

б) обчислити значення похідних в точці x₀ = 0;

в) написати ряд (3) для заданої функції і знайти його інтервал збіжності;

г) знайти інтервал (- R; R), в якому залишковий член ряду Маклорена R_n (x)  0 при n . Якщо такий інтервал існує, то в ньому функція f(x) і сума ряду Маклорена співпадають.

Зауваження. В інтервалі збіжності степеневого ряду залишковий член прямує до нуля при n .

Наведемо таблицю, що містить розкладання в ряд Маклорена деяких елементарних функцій (ці розкладання слід запам'ятати):

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

Приклад 1. Розкласти в ряд Маклорена функцію f(х)= 3^x.

○ Оскільки ,то, замінюючи х на x ln 3 в розкладі (4), одержимо: . ●

Приклад 2. Виписати ряд Маклорена функції f(х)= In (4 - х)

○ Оскільки то скориставшися формулою (9), в якій замінимо х на , одержимо:

Або якщо , тобто . ●

Приклад 3. Розкласти в ряд Маклорена функцію .

○ Скористаємося формулою (8). Оскільки

то, замінивши х на у формулі (6.8), одержимо:

або де , тобто . ●

Література:

ОЛ1 стр.516-520

Лекція 51-52. Ряди Фур’є

1. Поняття про ряд Фур’є.

2. Розклад функцій в ряд Фур’є.

3. Застосування рядів Фур’є.

4. Ряди Фурє для 2l-періодичних функцій

При вивченні різноманітних періодичних процесів, тобто процесів, які через певний проміжок часу повторюються (зустрічаються в радіотехніці, електроніці, теорії пружності, теорії і практиці автоматичного регулювання і т.д.), цілеспрямовано розкладати періодичні функції, що описують ці процеси, не в степеневий ряд, а в так званий тригонометричний ряд.

Найпростішими періодичними функціями є тригонометричні функції sin x і cos x. Період цих функцій дорівнює , тобто Т = .

Найпростішим періодичним процесом (рухом) є просте гармонічне коливання (рух), що описується функцією у = А (t + ₀)

t ≥ 0, де А – амплітуда коливання, ω – частота, φ₀ – початкова фаза.

Функцію такого вигляду (і її графік) називають простою гармонікою.

Основним періодом функції є , тобто одне повне коливання відбувається за проміжок часу (ω показує, скільки коливань робить точка протягом одиниць часу).

Виконаємо перетворення функції у = А (t + ₀):

(ωt + φ₀) = ωt cos φ₀ + А cosωt sinφ₀ = а cosωt + b sinωt (1)

де а = А sin φ₀, b = А cos φ₀. Звідси видно, що просте гармонічне коливання описується періодичними функціями sin ωt і cos ωt.

Складне гармонічне коливання, що виникає в результаті накладання кінцевого (або нескінченного) числа простих гармонік, також описується функціями виду cos ωt і b sin ωt. Так, функція

(t) = A₀ + A₁ sin(t +₁) + A₂ sin(2t + ₂) + ... + A₃₀ sin(30t + ₃₀) = = A₀ + A_n sin(nt + _n)

або, що рівносильне, функція (t) = A₀ + (a_ncosnt + b_n sinnt) задає складне гармонічне коливання. Оскільки період першої гармоніки є , другий , третьої ,..., тридцятої , а період функції ("нульова гармоніка") є будь-яке число, то функція φ(t) має період, що дорівнює 2π, тобто Т =2π.

Зрозуміло, що при накладанні простих гармонік отримуємо періодичну функцію, що описує складне періодичне коливання (періодичний процес).

Тригонометричний ряд Фур’є

За допомогою так званого тригонометричного ряду будь-яку (практично) періодичну функцію можна подати у вигляді ряду, членами якого є гармоніки.

Тригонометричним рядом називається функціональний ряд вигляду

де дійсні числа а₀, а_n, b_n (n = 1,2 .) називаються коефіцієнтами ряду.

Ряд можна записати у вигляді (nx + φ_n).

Дійсно, поклавши а_n = А_n sinφ_n, b_n = A_n cosφ_n, отримаємо:

A_n cosnx + b_nsinnx = A_nsin(nx + φ_n); при цьому

і tg φ_n = .

Вільний член ряду записаний у вигляді для одноманітності формул, що виходять надалі.