Застосування перетворення Лапласа

Перетворення Лапласа знаходить широке застосування в багатьох областях математики ( операційне числення), фізики і техніки :

Рішення систем диференціальних і інтегральних рівнянь - за допомогою перетворення Лапласа легко переходити від складних понять математичного аналізу до простих алгебраїчних співвідношень. ^[2]

Розрахунок передавальних функцій динамічних систем, таких, наприклад, як аналогові фільтри.

Розрахунок вихідних сигналів динамічних систем в теорії управління і обробці сигналів - так як вихідний сигнал лінійної стаціонарної системидорівнює згортку її імпульсної характеристики з вхідним сигналом, перетворення Лапласа дозволяє замінити цю операцію на просте множення.

Розрахунок електричних схем. Проводиться шляхом вирішення диференціальних рівнянь, що описують схему операторних методом.

Рішення нестаціонарних задач математичної фізики.

Література:

ОЛ2, ст..123-125

Лекція 47. Числові ряди.

1. Поняття числових рядів.

2. Властивості числових рядів

3. Збіжність числових рядів.

4. Необхідна та достатня умови збіжності ряду

Основні поняття

Нескінченні ряди широко використовуються в теоретичних дослідженнях математичного аналізу, мають різноманітні практичні застосування.

Числовим рядом (або просто рядом) називається вираз вигляду

(1.1)

де дійсні або комплексні числа, які називають членами ряду, - загальним членом ряду.

Ряд (1.1) вважається заданим, якщо відомий загальний член ряду виражений як функція його номера .

Сума перших членів ряду (1.1) називається -ою частинною сумою ряду і позначається через , тобто . Розглянемо часткові суми

Якщо існує кінцева границя послідовності часткових сум ряду (1.1), то цю границю називають сумою ряду (1.1) і говорять, що ряд збігається. Записують: .

Якщо не існує або , то ряд (1.1) називають тим, що розбіжний. Такий ряд суми не має.

Розглянемо приклади:

1. Ряд 2 + 17 - + 196 + ... не можна вважати заданим, а ряд 2 + 5+8 + ... — можна: його загальний член задається формулою

2. Ряд 0 + 0 + 0 + ... + 0 + ... збігається, його сума дорівнює 0.

3. Ряд 1 + 1 + 1 + ... + 1 + ... розбіжний при

4. Ряд 1 – 1 + 1 –1 + 1 – 1 + ... розбіжний, оскільки послідовність, частинних сум 1,0,1,0,1,0... не має границі.

5. Ряд збігається. Дійсно,

……………………,

Отже, тобто ряд збігається, його сума дорівнює 1.

Властивість 1. Якщо ряд (1.1) збігається і його сума дорівнює , то ряд

(1.2)

де с – довільне число, також збігається і його сума дорівнює . Якщо ж ряд (1.1) розбіжний і , то і ряд (1.2) розбіжний.

Властивість 2. Якщо збігається ряд (1.1) і збігається ряд

(1.3)

а їх суми дорівнюють і відповідно, то збігаються і ряди

(1.4)

причому сума кожного дорівнює відповідно .

Властивість 3. Якщо до ряду (1.1) додати (або відкинути) кінцеве число членів, то отриманий ряд і ряд (1.1) збігаються або розбіжні одночасно.

Ряд (1.5) називається -ою остачею ряду (1.1). Він отримується з ряду (1.1) відкиданням п перших його членів. Ряд (1.1) виходить із остачі додаванням кінцевого числа членів. Тому, згідно властивості 3, ряд (1.1) і його остача (1.5) одночасно збігаються або розбіжні.

З властивості 3 також випливає, що якщо ряд (1.1) збігається, то його остача прямує до нуля при , тобто

Необхідна ознака збіжності числового ряду. Гармонійний ряд

Знаходження -ої частинної суми і її границі для довільного ряду у багатьох випадках є непростою задачею. Тому для з'ясування збіжності ряду встановлюють спеціальні ознаки збіжності. Першою з них, як правило, є необхідна ознака збіжності.

Теорема Якщо ряд (1.1) збігається, то його загальний член и прямує до нуля, тобто = 0.

□ Нехай ряд (1.1) збігається і . Тоді і (при і Враховуючи, що при >1, отримуємо: ■

Наслідок (достатня умова розбіжності ряду). Якщо 0 або ця границя не існує, то ряд розбіжний.

Приклад 2. Дослідити збіжність ряду

○ Ряд розбіжний, оскільки тобто виконується достатня умова розбіжності ряду. ●

Достатні ознаки збіжності знакосталих рядів

Необхідна ознака збіжності не дає, взагалі кажучи, можливості говорити про те, чи збігається даний ряд чи ні. Збіжність і розбіжність ряду у багатьох випадках можна встановити за допомогою так званих достатніх ознак.

Розглянемо деякі з них для знакосталих рядів, тобто рядів з від’ємними членами (знаконегативний ряд переходить знакосталий шляхом множення його на (-1), що, як відомо, не впливає на збіжність ряду).

Ознаки порівняння рядів

Збіжність або розбіжність знакосталих ряду часто встановлюється шляхом порівняння його з іншим («еталонним») рядом, про який відомо, збігається він чи ні. В основі такого порівняння лежать наступні теореми.

Теорема Нехай дано два знакосталі ряди

(2.1)

(2.2)

Якщо для всіх виконується нерівність

(2.3)

то із збіжності ряду (2.2) виходить збіжність ряду (2.1), з розбіжності ряду (2.1) виходить розбіжність ряду (2.2).

Зауваження. Теорема справедлива і у тому випадку, коли нерівність (2.3) виконується не для всіх членів рядів (2.1) і (2.2), а починаючи з деякого номера . Це випливає з властивості 3 числових рядів.

Теорема (гранична ознака порівняння). Нехай дано два знакосталі ряди (2.1) і (2.2). Якщо існує кінцева, відмінний від 0, границя то ряди (2.1) і (2.2) збігаються або розбіжні одночасно.

Приклад 3. Дослідити на збіжність ряд .

○ Порівняємо даний ряд з рядом геометричної прогресії який збігається Маємо . Отже, даний ряд збігається. ●

Приклад 4 Дослідити збіжність ряду

○ Тут Візьмемо ряд із спільним членом який розбіжний (гармонійний ряд). Маємо Отже, даний ряд розбіжний. ●

Приклад 4. Дослідити збіжність ряду

○ Застосуємо граничну ознаку порівняння. Оскільки , то за теоремою початковий ряд розбіжний, як порівнянний з гармонійним рядом. ●

Ознака Даламбера

На відміну від ознак порівняння, де все залежить від здогадки і запасу відомих рядів, що збігаються і розбіжні, ознака Даламбера (1717-1783, французький математик) дозволяє часто вирішити питання про збіжність ряду, виконавши лише деякі операції над самим рядом.

Теорема Нехай дано ряд (1.1) з додатніми членами і існує кінцева або нескінченна границя Тоді ряд збігається при <1 і розбіжний при > 1.

Зауваження.

1. Якщо , то ряд (1.1) може бути як, тим що збігається, так і тим, що розбіжний.

2. Ознаку Даламбера доцільно застосовувати, коли загальний член ряду містить вираз або

Приклад 5. Дослідити на збіжність ряд

○ Знаходимо Оскільки , то даний ряд за ознакою Даламбера збігається. ●

Радикальна ознака Коші

Іноді зручно користуватися радикальною ознакою Коші для дослідження збіжності знакосталого ряду. Ця ознака багато в чому схожа з ознакою Даламбера, про що говорять його формулювання і доведення.

Теорема Нехай даний ряд (1.1) з додатними членами і існує кінцева або нескінченна границя Тоді ряд збігається при <1 і розбіжний при .

Приклад 6. Дослідити на збіжність ряд .

○ Оскільки

то застосуємо радикальну ознаку Коші до ряду .

Обчислюємо .

Ряд збігається, а значить, збігається і початковий ряд, згідно властивості 1 числових рядів. ●

Література:

ОЛ1 стр.494-498

Лекція 48. Види числових рядів

1. Знакозмінний числовий ряд.

2. Числовий ряд з додатніми членами та його властивості.

Знакопочергові ряди. Ознака Лейбніца

Розглянемо важливий клас рядів, які називаються знакопочергові. Знакопочерговим рядом називається ряд вигляду

(1)

де для (тобто ряд, додатні і від’ємні члени, якого стоять один за одним по черзі).

Для знакопочергових рядів має місце достатня ознака збіжності (встановлений в 1714 р. Лейбніцем в листі до І. Бернуллі).