Властивості і теореми

Абсолютна збіжність

Якщо інтеграл Лапласа абсолютно сходиться при σ = σ ₀ , Тобто існує межа

то він сходиться абсолютно і рівномірно для   і F (s) - аналітична функція при   (   - Речова частина комплексної змінної s ). Точна нижня грань σ _a безлічі чисел σ , При яких ця умова виконується, називається абсцисою абсолютної збіжності перетворення Лапласа для функції f (x) .

Умови існування прямого перетворення Лапласа

Перетворення Лапласа   існує в сенсі абсолютної збіжності в наступних випадках:

 : Перетворення Лапласа існує, якщо існує інтеграл   ;

σ> σ _a : Перетворення Лапласа існує, якщо інтеграл   існує для кожного кінцевого x _1> 0 і   для   ;

σ> 0 або σ> σ _a (Яка з меж більше): перетворення Лапласа існує, якщо існує перетворення Лапласа для функції f '(x) ( похідна до f (x) ) Для σ> σ _a .

Примітка: це достатні умови існування.

Умови існування зворотного перетворення Лапласа

Для існування зворотного перетворення Лапласа досить виконання таких умов:

Якщо зображення F (s) - аналітична функція для   і має порядок менше -1, то зворотне перетворення для неї існує і безперервно для всіх значень аргументу, причому   для   .

Нехай   , Так що   аналітична щодо кожного z _k і дорівнює нулю для   , І   , Тоді зворотне перетворення існує і відповідне пряме перетворення має абсциссу абсолютної збіжності.

Примітка: це достатні умови існування.

Теорема про згортку

Перетворенням Лапласа згортки двох оригіналів є твір зображень цих оригіналів:

Множення зображень

Ліва частина цього виразу називається інтегралом Дюамеля (англ.), що грає важливу роль в теорії динамічних систем.

Диференціювання та інтегрування оригіналу

Зображенням по Лапласа першої похідної від оригіналу по аргументу є твір зображення на аргумент останнього за вирахуванням оригіналу в нулі справа:

У більш загальному випадку ( похідна n -Го порядку):

Зображенням по Лапласа інтеграла від оригіналу по аргументу є зображення оригіналу, поділена на свій аргумент:

Диференціювання та інтегрування зображення

Зворотне перетворення Лапласа від похідної зображення по аргументу є твір оригіналу на свій аргумент, взяте зі зворотним знаком:

Зворотне перетворення Лапласа від інтеграла зображення по аргументу є оригінал цього зображення, поділений на свій аргумент:

Запізнення оригіналів і зображень. Граничні теореми

Запізнення зображення:

Запізнення оригіналу:

Примітка: H (x) - функція Хевісайда.

Теореми про початковий і кінцевий значенні (граничні теореми):

 , Все полюси в лівій півплощині.

Теорема про кінцевий значенні дуже корисна, тому що описує поведінку оригіналу на нескінченності за допомогою простого співвідношення. Це, наприклад, використовується для аналізу стійкості траєкторії динамічної системи.

Інші властивості

Лінійність:

Множення на число: