Властивості:

Приклад. Обчислити дійсне значення .

 . 

Література:

Ол.2 Ст.60-64

Лекція 3. Матриці та їх застосування

1. Різновиди матриць.

2. Дії над матрицями.

Означення. Матрицею називається прямокутна таблиця чисел (дійсних або комплексних). Горизонтальні ряди чисел називаються рядками, вертикальні — стовпцями. Рядки нумеруються згори вниз, стовпці — зліва направо. Числа, що утворюють матрицю, називаються її елементами. Елементи матриці позначають малими латинськими буквами з подвійними індексами. Так, a_ks — елемент, який міститься в k-му рядку, s-му стовпці. Самі матриці позначають великими латинськими буквами:

Якщо матриця має m рядків і n стовпців, то говорять, що вона має розмір m  n.

Матриця називається нульовою, якщо її елементи дорівнюють нулю. Дві матриці називаються рівними, якщо вони мають однаковий розмір і в них рівні між собою однаково розміщені елементи.

Означення. Матриця називається квадратною, коли число її рядків дорівнює числу її стовпців. Якщо квадратна матриця має n стовпців, то говорять, що матриця має порядок n. Ряд чисел а₁₁, а ₂₂, …, а_nn називається головною її діагоналлю.

Означення. Квадратна матриця називається діагональною, якщо всі її елементи, розміщені поза головною діагоналлю, дорів­нюють нулю.

Приклад. Матриця А є діагональною

.

Означення. Діагональна матриця називається одиничною, якщо всі її елементи, розміщені на головній діагоналі, дорівнюють одиниці.

Одинична матриця позначається так:

Означення. Транспонуванням матриці називається заміна її рядків на стовпці зі збереженням порядку їх запису.

Операцію транспонування позначають буквою Т у показнику степеня або штрихом:

Приклад.

Очевидно, що справджується рівність

Діагональна матриця в результаті транспонування не змінюється. Зокрема, для одиничної матриці маємо

Означення. Матриця А називається симетричною, якщо

і кососиметричною, якщо

Для елементів симетричної матриці виконується рівність

Для елементів кососиметричної матриці

У кососиметричної матриці діагональні елементи дорівнюють нулю, оскільки a_kk = –a_kk (k = 1, 2, …, n).

Матриця А є симетричною, В — кососиметричною:

Означення. Квадратна матриця називається трикутною, якщо всі її елементи, розміщені під головною діагоналлю або над нею, дорівнюють нулю.

Приклад. Розглянемо дві матриці

Матриця А₁ називається верхньою трикутною, а матриця А₂ — нижньою трикутною.

Дії над матрицями

Означення. Нехай дано матрицю А, розмір якої , і скаляр . Добутком  на А називається матриця розміру :

Щоб помножити матрицю А на скаляр , потрібно кожний її елемент помножити на цей скаляр.

Приклад. .

Означення. Сумою двох матриць

розміру є матриця

такого самого розміру. Аналогічно означується різниця матриць. Додавати і віднімати можна лише матриці однакового розміру.

Знайдемо суму та різницю двох матриць

:

.

Згідно з наведеними означеннями виконуються такі правила:

. (3)

Означення. Матриця С виду (3) з елементами виду (2) називається добутком матриць В та А: С = ВА.

Елемент матриці С, що міститься в k-му рядку матриці В і s-му стовпці матриці А, є скалярним добутком k-го рядка матриці В та s-го стовпця матриці А.

Добуток матриць ВА є визначеним лише в тому разі, коли число стовпців першого множника дорівнює числу рядків другого множника.

Добуток матриць В розміру та А розміру є матрицею, розмір якої :

Рис. 7

Приклад. Знайдемо добуток матриць

;

;

.

На цьому прикладі бачимо, що в загальному випадку .

Означення. Якщо АВ = ВА, то матриці А, В називаються переставними, або комутативними.

Наведемо властивості добутку матриць, припускаючи, що множення їх можливе.

Якщо Е — одинична матриця, то ЕА = А, АЕ = А.

При транспонуванні матриць справджуються рівності:

.

Означення. Якщо для квадратної матриці А порядку n існує матриця В, така що АВ = Е, де Е — одинична матриця, то матриця В називається оберненою до матриці А і позначається В = А^–1.

Якщо для матриці А існує обернена матриця А^–1, то матри- ця А називається неособливою, невиродженою, або регу- лярною.

Якщо для матриці А не існує оберненої матриці, то матриця А називається особливою, виродженою, або сингулярною.

Література:

Ол.2 Ст.64-66

Лекція 4. Визначники та їх властивості.

1. Визначники 2-го та 3-го порядків.

2. Властивості визначників.

Нехай А — квадратна матриця розміру nn:

.

Означення. Визначником матриці А n-го порядку називається алгебраїчна сума всіх можливих добутків n елементів матриці, узятих по одному з кожного її рядка і кожного стовпця. Якщо в кожному добутку перші індекси розміщені в порядку зростання, то знак добутку дорівнює (–1)^s, де s — число інверсій у переставленні других індексів.

Визначник подається виразом

(1)

де — переставлення чисел . Вираз (1) називається визначником n-го порядку, числа — його елементами; горизонтальні послідовності чисел називаються рядками визначника, а вертикальні — його стовпцями. Ряд чисел називається головною діагоналлю визначника.

Якщо в (1) переставимо елементи довільним чином, то ця формула набере вигляду

знайдемо вираз для визначника другого порядку:

.

Оскільки можна скласти два різні добутки елементів визначника, що беруться по одному з кожного рядка і стовпця, то

. (2)

Усього існує 6 різних добутків елементів визначника, що беруться по одному з

кожного рядка і кожного стовпця.

що являє собою визначник третього порядку.

Існує простий спосіб розкриття визначника третього порядку — так зване правило Саррюса. Допишемо до визначника (2) перший і другий стовпці, а далі перемножатимемо елементи, що розміщені на одній лінії, як показано на схемі:

Добуток елементів, які розміщені на лініях, що йдуть згори ліворуч униз праворуч, береться зі знаком «+». Добуток елементів, розміщених на лініях, що йдуть згори праворуч униз ліворуч, береться зі знаком «–».

Приклад. Обчислимо визначник третього порядку

.

 За правилом Саррюса складемо таблицю

і знайдемо значення визначника:

D₃ = 1  2  2 + 2  1  3 + 3  2  1 – 3  2  3 – 1  1  1 – 2  2  2 = –11. 

Оскільки визначник n-го порядку складається з n! доданків, то формула (1) не застосовується для обчислення визначників при n > 3 (уже при n = 4 визначник містить 4! = 24 доданки).

Для обчислення визначників застосовують властивості, що розглядаються далі.

Властивість 1. При транспонуванні визначника його значення не змінюється.

Приклад.Для визначника другого порядку маємо:

.

Властивість 2. Якщо всі елементи деякого рядка дорівнюють нулю, то визначник дорівнює нулю.

Приклад.

Властивість 3. Якщо всі елементи будь-якого рядка мають спільний множник, то його можна винести за знак визнач­ника.

Приклад.Обчислимо визначник:

.

Властивість 4. Якщо поміняємо місцями два рядки визначника, то він змінить свій знак.

Приклад.Поміняємо місцями рядки у визначнику:

.

Властивість 5. Якщо у визначнику два рядки однакові, то визначник дорівнює нулю.

Приклад.Для визначника третього порядку виконується рівність:

,

оскільки цей визначник має два однакові рядки.

Властивість 6. Якщо у визначнику елементи одного рядка пропорційні до відповідних елементів іншого рядка, то визначник дорівнює нулю.

Властивість 7. Якщо у визначнику D всі елементи будь-якого рядка є сумою двох доданків, то цей визначник є сумою двох визначників, усі елементи яких (крім фіксованого рядка) збігаються. У першому визначнику фіксований рядок містить перші доданки, у другому визначнику фіксований рядок містить другі доданки.

Приклад.За властивістю 7 маємо:

.

Властивість 8. Якщо до елементів деякого рядка визначника додати відповідні елементи іншого його рядка, помноживши на одне й те саме число, то значення визначника при цьому не зміниться.

Приклад.Маємо рівність визначників:

.

Із доведення властивостей 7 і 8 випливають розглянуті далі властивості визначників.

Теорема 1. Якщо всі елементи визначника, розміщені вище або нижче від головної діагоналі, дорівнюють нулю, то визначник дорівнює добутку діагональних елементів.

Щоб перетворити визначник до виду (1), застосуємо властивість 8.

Приклад.Обчислимо визначник третього порядку

.

 Знайдемо різницю першого і другого рядків, а потім помножимо перший рядок на 2 і віднімемо від третього рядка. Дістанемо визначник

.

Віднявши другий його рядок від третього, дістанемо

. 

Приклад.Обчислимо визначник четвертого порядку

.

 Додамо перший рядок до другого і четвертого, утворивши визначник

.

Поміняємо місцями перший і третій стовпці:

.

Додамо другий рядок до третього і четвертого рядків і винесемо спільний множник елементів третього і четвертого рядків:

.

Віднявши третій рядок від четвертого, обчислимо даний визначник за формулою (1):

.

Література:

ОЛ1 стр 13-15.

Лекція 5-6. Мінор та алгебраїчне доповнення. Обернена матриця

1. Поняття мінору визначника

2. Алгебраїчні доповнення.

3. Обчислення визначників шляхом розкладання за елементами рядка або стовпця.

4. Поняття оберненої матриці.

5. Алгоритм обчислення оберненої матриці.

Означення. Викреслимо у визначнику n-го порядку k-й рядок і s-й стовпець, а з решти елементів утворимо визначник (n – 1)-го порядку зі збереженням розміщення рядків і стовпців.

Здобутий визначник називається мінором визначника і позначається M_ks.

Визначник, утворений у результаті викреслювання кількох рядків і стовпців даного визначника, також називається його мінором.

Приклад.Знайдемо деякі мінори визначника третього порядку:

.

Означення. Викреслимо в матриці А розміру m  n кілька рядків і стовпців так, щоб із решти елементів можна було скласти визначник. Цей визначник називається мінором матриці.

Властивість 9. Сума добутків елементів будь-якого рядка або стовпця визначника на відповідні алгебраїчні доповнення дорівнює цьому визначнику, тобто якщо

,

то справджуються рівності:

Властивість 10. Сума добутків елементів будь-якого рядка визначника на алгебраїчне доповнення відповідних елементів іншого його рядка дорівнює нулю:

.

Аналогічна властивість виконується для стовпців:

.

Приклад.Розкладемо визначник четвертого порядку за елементами третього рядка:

або за елементами першого стовпця:

.

Означення. Квадратна матриця А порядку n називається регулярною, або невиродженою, якщо її визначник відмінний від нуля.

Означення. Квадратна матриця А порядку n називається виродженою, якщо її визначник дорівнює нулю.

У невиродженої матриці всі рядки і стовпці лінійно незалежні. У виродженої матриці рядки і стовпці лінійно залежні.

Теорема 1. Якщо матриця А порядку n невироджена, то для неї існує обернена матриця

(1)

де , а — алгебраїчне доповнення елементів визначника D.

Приклад.Знайдемо матрицю, обернену до матриці

  За формулою (1) обчислимо обернену матрицю:

.

Приклад.Знайдемо матрицю, обернену до матриці

.

Запишемо алгебраїчні доповнення всіх елементів визначника:

;

;

.

Отже, згідно з (1) дістанемо обернену матрицю

.

Розглянемо деякі найважливіші властивості оберненої матриці.

1. Матриця А^–1 є регулярною, оскільки при det A  0 справджується рівність

.

2. (А^Т)^–1 = (А^–1)^Т. Справді, з рівності

випливає (А^Т)^–1 = (А^–1)^Т.

Якщо матриця А симетрична, то А^–1 = (А^–1)^Т = (А^Т)^–1.

Для ортогональної матриці В маємо рівність ВВ^Т = Е, звідки В^–1 = В^Т.

3. (АВ)^–1 = В^–1 А^–1. Щоб довести цю властивість, знайдемо добуток

.

У загальному випадку маємо:

.