Рівняння вигляду

називається рівнянням Рікатті.

В загальному випадку рівняння Рікатті не інтегрується. Відомі лише деякі частинні випадки рівнянь Рікатті, що інтегруються в квадратурах. Розглянемо один з них. Нехай відомий один частинний розв’язок  . Робимо заміну   і одержуємо Оскільки   - частинний розв’язок, то . Розкривши дужки і використовуючи вказану тотожність, одержуємо Перепишемо одержане рівняння у вигляді , це рівняння Бернуллі з  . Приклад 1. Розв’язати рівняння Розв’язок. Використовуючи вигляд загального розв’язку, отримаємо . Оскільки  , то отримаємо Або . Приклад 2. Знайти частинний розв’язок рівняння  що задовольняє початковій умові  . Розв’язок. Використовуючи вигляд загального розв’язку, отримаємо Таким чином  . Підставивши початкові умови  , одержимо  . Звідси   і частинний розв’язок має вигляд .

Розглянемо деякі задачі на застосування лінійних рівнянь.

Нагріте тіло, поміщене в середовище з більш низькою температурою, буде охолоджуватися, при цьому швидкість охолодження з плином часу зменшується. Як відомо, швидкість охолодження поверхні тіла в будь-якій її точці пропорційна різниці температур поверхні тіла і навколишньої середи.

Задача. Металева деталь, нагріта до 500°С, охолоджується в, повітрі при температурі 20 °С. Через 10 хвилин після початку охолодження температура на поверхні деталі понизилася до 100°С. Який буде температура на поверхні деталі через 20 хвилин?

Розв’язання. Позначимо через U (t) температуру на поверхні деталі в момент часу t після початку охолодження. За умовою

U (0)=500 Це – початкова умова задачі. Швидкість охолодження поверхні деталі в момент часу t дорівнює U’(t). Вважаючи температуру повітря постійною, отримаємо:

U (t) = -k (U (t)-20), k>0.

Так, як температура на поверхні деталі зменшується, то похідна від’ємна. Звідси для U(t) отримаємо лінійне диференціальне рівняння,:

U’ (t)+kU (t)= 20k

Розв’язуючи його за формулою з початковою умовою, отримаємо

U (t)= 480e^-kt+20

Використовуючи додаткову умову U(10)=100, знайдемо і, відповідно, U(t)=480 . Якщо t=20 отримаємо U(20)=33+1/3.

Література:

ОЛ1 стр.433-436

Лекція 43-44.Лінійні диференціальні рівняння другого порядку

1. Поняття про диференціальні рівняння 11 порядку.

2. Розвязування диференціальних рівнянь другого порядку.

3. Диференціальні рівняння другого порядку в задачах з електротехніки.

4. Неповні диференціальні рівняння.

Диференціальне рівняння виду

або ,

в яке входить друга похідна шуканої функції , називається диференціальним рівнянням другого порядку.

Розглянемо диференціальні рівняння виду

Загальний розв’язок рівняння - - містить дві довільні сталі.

Частинний розв’язок знаходимо за початковими умовами:

1. Диференціальне рівняння виду називається диференціальним рівнянням другого порядку, що не містить шуканої функції та її похідної.

Таке рівняння інтегрується два рази після введення нової змінної, що дає можливість понизити порядок.

Введемо нову функцію тоді звідки , або

Розділимо змінні і проінтегруємо:

, , , або .

Розділимо змінні другий раз:

,

проінтегруємо:

,

тоді загальний розв’язок

.

Приклад. Знайти загальний розв’язок дифрівняння

Якщо то , звідки , або ;

звідки або ;

, звідки

- загальний розв’язок.

Диференціальне рівняння другого порядку, що не містить шуканої функції:

Введемо нову змінну отримаємо

Якщо розв’язок цього рівняння

,

то інтегруюючи отримаємо:

звідки

- загальний розв’язок.

Приклад. Знайти загальний розв’язок дифрівняння:

Позначимо тоді , тому або

Розділимо змінні:

Проінтегруємо: . звідки ,

звідки загальний розв’язок:

Електротехнічна задача

Якщо в замкнутий електричний ланцюг послідовно ввімкнуті джерело струму з електрорушійною силою (ЕРС) Е, В, активний опір R Ом, котушка з індуктивністю L Гн і конденсатор ємністю С, Ф, то, як відомо з електротехніки, між ЕРС і напругами на активному опорі, котушці індуктивності і конденсаторі в будь-який момент часу t існує така залежність:

E=U_R+U_C+U_L. (1)

Тут U_R=RI(t) – напруга на активному опорі, U_C=q(t)/C – напруга на конденсаторі і U_L=LI’(t) – напруга на котушці індуктивності; I(t) – сила струму в ланцюгу в момент часу t, яка вимірюється в амперах, q(t) – заряд конденсатора в момент часу t, яких вимірюється в кулонах.

Використовуючи співвідношення (25) і знаючи, що q’(t)= I(t), можна знайти силу струму в ланцюгу в залежності від заданої ЕРС джерела струму.

Задача. Послідовно ввімкнені джерело струму з ЕРС Е, В, котушка з індуктивністю L, Гн (L 0) і активний опір R, Ом. Знайти закон зміни сили струму I(t) в ланцюгу, вважаючи, що в початковий момент часу (t=0) вона дорівнює нулю. Розглянути випадок коли ЕРС постійна – E(t)=E;

Розв’язання. Використовуючи (1), після відповідних підстановок отримаємо співвідношення

,

яке при заданих R, L і E(t) можна розглядати як лінійне диференціальне рівняння

(2)

з початковою умовою

I (0)=0. (3)

Випадок а). При постійному струмі E(t)=E рівняння (2) з початковою умовою (3) аналогічно рівнянню з початковою умовою. Розв’язавши його, знайдемо

. (4)

З (4) маємо, що з зростанням часу t сила струму I(t) наближається до постійного значення E/R. Таким чином, у встановившомуся режимі при постійній ЕРС джерела струму виникаючої в ланцюгу струм “не помічає” індуктивності і підпорядковується закону Ома для замкнутої ділянки ланцюгу постійного струму.

Неповні рівняння.

а). Д.Р. які містять тільки похідну.

Це рівняння вигляду

 (5)

Рівняння (5) може мати скінчену або нескінчену кількість дійсних розв’язків.

 (6)

де  – деякі числа, задовільняючі функцію  .

Інтегруємо (6)

 (7)

Так як  то

 (8)

загальний інтеграл Д.Р. (5). Таким чином при таких припущеннях  Д.Р. (5.45) є системою прямих ліній, які можна записати у вигляді (5.48). При цьому в (5.48) можуть входити комплексні розв’язки Д.Р.

Приклад

Розв’язати  .

Згідно (8)  – загальний інтеграл. Однак у нього крім дійсного розв’язку  , входять розв’язки комплексного Д.Р. 

б) Д.Р., які не містять шуканої функції мають вигляд

 (9)

Якщо (9) можна розв’язати відносно похідної

 (10)

то

 (11)

являється загальним інтегралом Д.Р. (9).

Якщо ж розв’язати відносно  не можна, а допускається параметризація

 (12)

тобто

 (13)

Тоді загальний розв’язок знаходять в параметричній формі

 (14)

Якщо Д.Р. (9) має вигляд

 (15)

тоді це рівняння легко параметризується  .В частинному випадку  . Загальний розв’язок запишеться в формі

 (16)

Приклад 2.

Зайти загальний розв’язок рівняння  .

Вводимо параметризацію  .

,  , 

Маємо

Загальний розв’язок в параметричній формі.

в) Д.Р., які не містятьнезалежної змінної.

Це рівняння вигляду

 (17)

Якщо рівняння (17) розв’язане відносно  , тобто

 (18)

то

 (19)

Являється загальним інтегралом Д.Р. (17). Особливими розв’язками можуть бути криві  , де  – корені рівняння  (або  ).

Якщо Д.Р. (17) не можна розв’язати відносно  , але воно допускає параметризацію

 (20)

то

 (21)

Загальний розв’язок Д.Р. (17) в параметричній формі.

Приклад 3.

Розв’язати  . Введемо параметризацію  .

Звідки

Зашальний розв’язок нашого рівняння.

Література:

ОЛ1 стр.461-466

Лекція 45. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами

1. Полняття диф. рівнянь 2 порядку зі сталими коефіцієнтами.

2. Знаходження загального розв’язку з однорідних диференціальних рівнянь другого порядку із сталими коефіцієнтами

Лінійним однорідним диференціальним рівнянням другого порядку з постійними коефіцієнтами називається рівняння виду:

де p i q –постійні

Для знаходження загального розв’язку (1) складається характеристичне рівняння:

+q=0 (2), яке отримуємо завдяки заміні

Тоді загальний розв’язок (1) будується в залежності від коренів характеристичного рівняння (2)

Можливі три випадки:

1. -дійсні і , тоді загальне рівняння має вигляд

2. -дійсні і , тоді загальне рівняння має вигляд

- комплексно спряжені:

Приклад:

Розв’язати рівняння:

Cкладаємо характеристичне рівняння: - 6 = , D = 25, r₁=2, r₂=-3

- дійсні і , тоді загальне рівняння має вигляд

(1)

Для знаходження частинного розв’язку необхідно знайти С₁, С₂

(2)

;

Отже,

Література:

1. ОЛ 1 стр.421 – 434

2. ОЛ 2 стр. 182 – 190

Лекція 46. Перетворення Лапласа

1. Перетворення Лапласа.

2. Оригінал та зображення

Перетворення Лапласа - інтегральне перетворення, що зв'язує функцію   комплексного змінного (зображення) з функцією   речового змінного(оригінал). З його допомогою досліджуються властивості динамічних систем і вирішуються диференціальні і інтегральні рівняння.

Однією з особливостей перетворення Лапласа, які зумовили його широке поширення в наукових та інженерних розрахунках, є те, що багатьом співвідношенням і операціям над оригіналами відповідають більш прості співвідношення над їх зображеннями. Так, згортка двох функцій зводиться в просторі зображень до операції множення, а лінійні диференціальні рівняння стають алгебраїчними.

Пряме перетворення Лапласа

Перетворенням Лапласа функції речової змінної   , Називається функція   комплексної змінної s = σ + i ω ^[1], така що:

Права частина цього виразу називається інтегралом Лапласа.

Зворотне перетворення Лапласа

Зворотним перетворенням Лапласа функції комплексного змінного   , Називається функція   речової змінної, така що:

де   - Деяке дійсне число (див. умови існування). Права частина цього виразу називається інтегралом Бромвіча.

Двостороннє перетворення Лапласа

Двостороння перетворення Лапласа - узагальнення на випадок завдань, в яких для функції   беруть участь значення x <0 .

Двостороння перетворення Лапласа визначається таким чином:

Дискретне перетворення Лапласа

Застосовується у сфері систем комп'ютерного управління. Дискретне перетворення Лапласа може бути застосовано для гратчастих функцій.

Розрізняють   -Перетворення та   -Перетворення.

 -Перетворення

Нехай   - Решітчаста функція, тобто значення цієї функції визначені тільки в дискретні моменти часу   , Де   - Ціле число, а   - Період дискретизації.

Тоді застосовуючи перетворення Лапласа отримаємо:

 -Перетворення

Якщо застосувати таку заміну змінних:

z = e ^{s T,}

одержимо Z -Перетворення: