Лекція 40. Диференціальні рівняння першого порядку. Задача Коші.

1. Загальні поняття та означення. Задача Коші.

2.Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними.

1. Загальні поняття та означення. Задача Коші.

Рівняння виду

називається звичайним диференціальним рівнянням першого порядку.

Тобто, диференціальним рівнянням називається рівняння, що пов’язує між собою незалежну змінну x, шукану функцію y та її похідні або диференціали.

Загальним розв’язком диференціального рівняння називається такий розв’язок, в який входить стільки незалежних довільних постійних, який порядок рівняння

( рівняння першого порядку має 1 константу)

Частинним розв’язком диференціального рівняння називається розв’язок, отриманий із загального при довільних значеннях постійних. Значення постійної знаходиться при певних значеннях аргумента та функції.

Графік розв’язку диференціального рівняння називається інтегральною кривою цього рівняння.

Теорема: Нехай функція f(x;y) і її частинна похідна f^| _y(x;y) визначені і неперервні на площині Oxy і точка (x_{0 ;}y₀) належить цій області. Тоді існує єдиний розв’язок , який задовольняє умову .

Задача знаходження розв’язку рівняння, який задовольняє початкову умову називається задачею Коші. З погляду геометрії розв’язати задачу Коші, означає виділити з множини інтегральних кривих ту, яка проходить через задану точку

Розглянемо способи розв’язку деяких його типів.

2.Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними.

Диференціальним рівнянням з відокремлюваними змінними називається рівняння виду

Для розв’язування цього рівняння необхідно спочатку розділити змінні. Домножим обидві частини рівняння на dx

Проінтегруємо обидві частини рівняння,

Приклад:

Розв’язати рівняння:

-

Оскільки це рівняння можна записати у вигляді

x - то воно є рівнянням з відокремлюваними змінними.

Поділивши обидві частини на

дістанемо рівнянням з відокремлюваними змінними

Проінтегрувавши, маємо

Потенціюючи, дістанемо загальний інтеграл заданого рівняння:

Література:

ОЛ1 стр.421-426

Лекція 41. Однорідні диференціальні рівняння

1. Поняття однорідних диференціальних рівнянь.

2. Алгоритм розв’язування однорідних диференціальних рівнянь

3. Загальний та частинний розв’язок

Однорідною функцією змінних x, y називається функція, всі члени якої мають однаковий степінь.

Наприклад,

Рівняння виду

де - однорідні функції одного і того ж степеня, називається однорідним

Однорідні рівняння за допомогою підстановки y = vx зводяться до рівняння з відокремлюваними змінними

Приклад:

Розв’язати рівняння:

Це рівняння є однорідним першого степеня

=0

C

Література:

ОЛ1 стр.430-433

Лекція 42. Лінійні однорідні диференціальні рівняння I порядку

1. Поняття лінійних диференціальних рівнянь.

2. Алгоритм розв’язування лінійних диференціальних рівнянь

3. Загальний та частинний розв’язок

Рівняння, що є лінійним відносно невідомої функції та її похідної, називається лінійним диференціальним рівнянням. Його загальний вигляд такий: . Якщо  , тобто рівняння має вигляд , то воно зветься однорідним. Однорідне рівняння є рівнянням зі змінними, що розділяються і розв’язується таким чином: Нарешті  . Розв’язок неоднорідного рівняння будемо шукати методом варіації довільних сталих (методом невизначених множників Лагранжа). Він складається в тому, що розв’язок неоднорідного рівняння шукається в такому ж вигляді, як і розв’язок однорідного, але   вважається невідомою функцією від  , тобто  і  . Для знаходження   підставимо   у рівняння . Звідси Проінтегрувавши, одержимо . І загальний розв’язок неоднорідного рівняння має вигляд Якщо використовувати початкові умови  , то розв’язок можна записати у формі Коші: . Рівняння Бернуллі

Рівняння вигляду називається рівнянням Бернуллі. Розділимо на   і одержимо  Зробимо заміну:  . Підставивши в рівняння, отримаємо Одержали лінійне диференціальне рівняння. Його розв’язок має вигляд Рівняння Рікатті