Розв’язання.

Межами інтегрування являються абсциси точок перетину прямих і х=4 з віссю Ох. Знаходимо системи і Отже, Далі знаходимо

Розв’яжемо цю задачу за допомогою формули знаходження об’єму кругового конуса. Маємо . Знаходимо радіус основи. З рівняння при х=4 → R=3

Висота конуса h=4. Таким чином,

Література:

ОЛ1стр.401-408

Лекція 35. Функції багатьох змінних.

1. Поняття функції двох змінних.

2. Частинні похідні та диференціал першого порядку.

Нехай функція визначена в деякому околі точки м (х; у)- неперервна в деякій області функція 2-х незалежних змінних x і y. Надамо y постійне значення y₀ і розглянемо функцію однієї змінної x:

Частинною похідною функції f (х, у) по змінній х є функція змінних x та y, яку отримуємо, якщо про диференціюємо f (х, у) по змінній х , розглядаючи при цьому y як постійну і позначається одним із таких символів:

Аналогічно частинна похідна функції f (х, у) визначається по у і позначається

Згідно з означенням, при знаходженні частинної похідної обчислюють звичайну похідну функції однієї змінної х, вважаючи змінну у сталою, а при знаходженні похідної сталою вважається змін­на х. Тому частинні похідні знаходять за формулами і правилами обчислен­ня похідних функцій однієї змінної.

Частинна похідна ха­рактеризує швидкість зміни функції н напрямі осі ох (або оу).

Приклад

Знайти частинні похідні функцій:

а) z =

Повним диференціалом функції двох змінних називається головна частина повного приросту функції.

Теорема: повний диференціал функції двох змінних дорівнює добутку частинних похідних функції на диференціали відповідних незалежних змінних, тобто

Приклад

Література:

ОЛ1 стр.294-296

Лекція 37. Похідна за напрямом. Градієнт

1. Похідна за напрямом.

2. Градієнт.

Похідна за напрямом. Градієнт.

Нехай задано скалярне поле, в якому візьмемо точку М і проведемо з цієї точки вектор , напрямні косинуси , ,

Запишемо формулу для обчислення похідної за напрямом.

З формули (2) випливає, що частинні похідні є окремими випад­ками похідної за напрямом.

Подібно до того як частинні похідні u'_х, u'_у, u'_z характеризують швидкість зміни функції в напрямі осей координат, так і похідна

показує швидкість зміни скалярного поля u (х, у, z) в точці М (х, у, z) за напрямом вектора. Абсолютна величина похідної відповідає значенню швид­кості, а знак похідної визначає характер зміни функції u (х, у, z) в напрямі , (зростання чи спадання).

Вектор, координатами якого є значення частинних похідних функції u (х, у, z) в точці М (х; у; z), називають градієнтом функції в цій точці і позначають grad и. Отже,

Зв'язок між градієнтом і похідною в даній точці за довільним на­прямом показує така теорема.

Теорема. Похідна функції u (х, у, z) в точці М (х; у; z) за на­прямом вектора дорівнює проекції градієнта функції в цій точці на вектор , тобто

= пр . grad u.

Література:

1. ОЛ 1 стр.294 – 304, 313-317

2. ОЛ 2 стр. 118 - 120

Лекція 38. Частинні похідні функції двох змінних.

1. Частинні похідні.

2. Повний диференціал.

Нехай функція визначена в деякому околі точки . При фіксованому дістанемо функцію , яка залежить тільки від однієї змінної х, а при дістанемо функцію , яка залежить тільки від у. Похідна функції при називається частинною похідною по х функції у точці і позначається

,

а похідна функції при називається частинною похідною по у функції у точці і позначається

.

Коротко означення частинних похідних можна сформулювати так: - це похідна по х функції при фіксованому у, а - це похідна по у функції при фіксованому х. Отже, частинні похідні функції знаходять за звичайними правилами диференціювання; треба тільки при диференціюванні по х змінну у вважати сталою, а при диференціюванні по у вважати сталою х.

Наприклад, якщо , то

,

.

Аналогічно, якщо , то

,

Частинні похідні і функції , якщо вони існують в кожній точці деякої області, самі є функціями двох змінних. Отже, для них також можна розглядати частинні похідні.

Частинні похідні від частинних похідних називаються частинними похідними другого порядку функції . Очевидно, функція двох змінних має чотири частинні похідні другого порядку:

Похідні і називаються частинними похідними другого порядку по х і по у відповідно і позначаються . Частинні похідні і називаються мішаними похідними другого порядку. Можна довести, що коли мішані похідні неперервні, то вони рівні. У цьому разі позначають .

Приклад 1. Знайти частинні похідні першого і другого порядків функції

Розв’язання. Спочатку знайдемо частинні похідні першого порядку:

.

Потім знайдемо немішані похідні другого порядку:

, .

Для мішаних похідних маємо

і, отже, .

Приклад 2. Знайти частинні похідні функції , яка задовольняє рівняння

.

Розв’язання. Продиференціюємо цю рівність по х, вважаючи змінну z функцією від х і у. В результаті дістанемо рівняння

,

з якого маємо

.

.

Аналогічно знаходимо частинну похідну по у:

,

.\

Диференціали функцій багатьох змінних.

Різниця

називається повним приростом функції , а різниці

називаються частинними приростами функції по х і по у відповідно.

Повний приріст функції можна зобразити у вигляді суми частинних приростів. Справді,

Якщо функція має частинні похідні і , то, очевидно,

,

,

де при .

Добутки і називаються частинними диференціалами функції по х і по у відповідно.

Якщо функція має неперервні частинні похідні і , то сума частинних диференціалів

називається повним диференціалом функції в точці

Прирости незалежних змінних звичайно позначають і . Тоді

(1)

Теорема (про мішані похідні). Якщо функція f (х, у) визначена разом із своїми похідними f'_x, f_y, f"_xy, f_yx в деякому околі точки М₀(x₀; у₀), причому похідні f"_xy та f_yx неперервні в точці М₀, то в цій точці, f"_xy = f"_yx

Аналогічна теорема справедлива для будь-яких неперервних мі­шаних похідних, які відрізняються між собою лише порядком дифе­ренціювання.

Приклад 1. Знайти повний диференціал функції

Розв’язання. Знайдемо спочатку частинні похідні:

,

Отже, .

Це є повний диференціал заданої функції в довільній точці . Щоб знайти диференціали у конкретній точці, треба замість х і у підставити координати цієї точки. Наприклад,

,

,

,

.

Приклад 2. За допомогою диференціала обчислити наближене значення функції у точках (3,1; 3,9) і (2,9; 4.1).

Розв’язання. Розглядувані точки лежать поблизу точки (3; 4), в якій легко обчислити значення функції: Знайдемо диференціал заданої функції в точці (3; 4):

,

,

Отже,

.

З формули (2) випливає, що

Для точки (3,1; 3,9) маємо і тому

.

Для точки (2,9; 4,1) маємо , і тому

Література:

ОЛ1, ст.313-316

Лекція 39. Екстремуми функцій багатьох змінних. Умовний екстремум.

1. Дослідження функції кількох змінних.

2. Екстремуми функції кількох змінних.

Нехай функція z=f(x;y) визначена в деякій області точки (х₀,у₀). Кажуть, що функція z=f(x;y) має в точці (х₀,у₀) строгий максимум (мінімум), якщоf(x;y)<f(x< i="">₀;y₀) (f(x;y)>f(x₀;y₀)) для всіх точок (х;у), достатньо близьких до х₀, у_0. Точка (х₀,у₀) – точка максимуму (мінімуму). Максимум і мінімум функції називають екстремумами функціями. Теорема 1 (необхідні умови екстремуму). Якщо диференційована функція z=f(x;y) має екстремум в точці Р₀ (х₀,у₀), то її частинні похідні першого порядку в цій точці дорівнюють нулю, тобто  ,  . Теорема 2 (достатні умови існування екстремуму). Нехай функція z=f(x;y) неперервна в D(f) разом зі своїми частинними похідними першого і другого порядків і точка Р₀(х₀,у₀) є критичною. Знайдемо в точці Р₀ похідні другого порядку і позначимо: ,  ,  . Якщо AC-B²>0, то функція має в точці Р₀(х₀,у₀) екстремум: максимум якщо А<0 і мінімум якщо А>0. Якщо АС-B²<0, то в точці Р₀(х₀,у₀) екстремуму немає. Якщо АС-В²=0, то висновок про екстремум зробити не можна. Приклад. Дослідити на екстремум функцію z=xy-x²-2y²+x+10y-8.

1. Знайдемо частинні похідні:

2. Прирівняємо частинні похідні до нуля і складемо систему

Знайдемо із першого рівняння у=2х-1 і підставимо у друге: х = 2, у=3

3. Знайдемо частинні похідні другого порядку:

Як бачимо, частинні похідні другого порядку дорівнюють сталим числам в будь-який точці, а значить і в точці Р0(2;3). Тому А=-2, В=1, С=-4. АС-В2=(-2)(-4)-1=7>0. Таким чином, в точці Р0 (2;3) функція має максимум Умовний екстремум Нехай задано функцію  , стосовно якої ставиться вимога знайти її екстремуми при умові, що   - рівняння розв’язку. Ця задача умовного екстремуму зводиться до знаходження звичайного екстремуму функції . Де F – функція Лагранжа;   - множник Лагранжа. Стаціонарні точки знаходять із системи рівнянь Характер умовного екстремуму можна встановити за знаком диференціала другого порядку функції Лагранжа: якщо у стаціонарній точці  , то це є точка умовного мінімуму (максимуму). Приклад. (На умовний екстремум). Знайти екстремум функції   при умові  . Функція Лагранжа буде мати вигляд Запишемо необхідні умови існування екстремуму:     . Звідки отримуємо:  та  Критична точка буде мати координати: ,  . ,  ,  Тоді   Отже існує min функції

Література:

ОЛ1 стр.300-302