Розв'язання

Оскільки для х² однією із первісних є , то

.

Відповідь: 3.

Приклад 2. Обчисліть .

Розв'язання

Відповідь: .

Із властивостей первісної і формули Ньютона-Лейбніца ви­пливають основні властивості інтеграла.

1. Інтеграл суми (різниці) функцій дорівнює сумі (різниці) інтегралів :

.

2) Постійний множник можна виносити за знак інтеграла:

3) Якщо с є [а; b], то

4) де ρ є R, k є R.

Доведемо ці рівності:

3) Цю властивість інтеграла наочно видно із властивостей площі: пло­ща всієї криволінійної трапеції, з основою [а; b] дорівнює сумі площ трапецій з основами [а; с] і [с; b] (рис. 105).

Цю ж властивість можна одержати і обчисленням. Нехай F(x) — первісна для функції f(x). Тоді

Склавши почленно ліві і праві частини рівностей, одержуємо

Останню рівність буде доведено в курсі математичного аналізу. Властивості інтегралів допомагають в обчисленні інтегралів.

Приклад. Обчисліть: а) ; б) .

Розв'язання

Відповідь: а) π² - 1; б)

Література:

ОЛ1 стр. 365-367

Лекція 33. Обчислення визначених інтегралів методом заміни та інтегрування частинами

Теорема. Нехай функція   неперервна в будь-якій точці  , де  , і нехай ,  . Тоді якщо функція   має неперервну похідну, то справедлива така формула: . (1) Ця формула називається формулою заміни змінної інтегрування в визначеному інтегралі. Приклад 1. Обчислимо  . Застосовуємо формулу (1), припустивши, що  . Для цього треба скрізь замінити х на   і відповідно змінити межі інтегрування. Тут  , і тому в новому інтегралі межами інтегрування будуть 1 і 4. Отже, . Покажемо, як цей інтеграл можна обчислити за допомогою формули заміни змінної: . Тут зроблено підстановку  . Приклад 2. Обчислимо  . Оскільки  , то припустимо, що  . Тоді . Зазначимо, що тут робити заміну   не можна, бо  , а в цьому інтегралі х набуває й від’ємних значень. Приклад 3. Обчислимо інтеграл від 0 до   від функції  Маємо . Тут зроблено підстановку  . Зазначимо, що цей інтеграл, як і інтеграли з прикладів 1 і 2, можна обчислити без заміни змінної інтегрування. Справді, Приклад 4. Обчислимо  . Для знаходження невизначеного інтеграла від функції   скористаємось підстановкою  . Точніше, зробимо таку заміну змінної інтегрування: . З формули тригонометрії випливає, що  . І тому  . Підрахуємо тепер  . Нарешті, оскільки  ,  , то в новому інтегралі межами інтегрування треба брати 0 і 1. Отже,  . Як відомо, формулу інтегрування частинами для невизначених інтегралів доводять інтегруванням рівності  . (1) Аналогічно доводять і формулу інтегрування частинами для визначених інтегралів. Теорема. Якщо функції   і   мають неперервні похідні на відрізку  , то справедлива формула . (2) Коротко цю формулу записують так: . (3) Формула (2), як і формула (3), називається формулою інтегрування частинами для визначеного інтеграла. Приклад 1. Обчислимо  . Застосуємо формулу інтегрування частинами, припустивши, що  ,  , Тоді Приклад 2. Обчислимо  . Припустимо, що  ,  , тобто  , і застосуємо формулу (2): . До знайденого інтеграла знову застосуємо формулу інтегрування частинами: . Отже, 

Література:

ОЛ1 стр. 366-369

Лекція 34. Обчислення площ плоских фігур

1. Площа криволінійної трапеції.

2. Способи обчислення площ плоских фігур в залежності від розміщення фігури на координатній площині

Використовуючи поняття визначеного інтеграла, можна обчислювати площі плоских фігур. Як відомо, визначений інтеграл від невід’ємної неперервної функції є площа відповідної криволінійної трапеції. У цьому полягає геометричний зміст визначеного інтеграла, на цьому ґрунтується його застосування для обчислення площ плоских фігур.

Розглянемо криволінійну трапецію , обмежену графіком невід’ємної, неперервної функції , , відрізком осі Ох, відрізками прямих х=а і . У цьому разі площа криволінійної трапеції, як відомо, обчислюється за формулою

(1)

Приклад 1. Обчислити площу плоскої фігури, обмеженої лініями і відрізком осі Ох.

Розв’язання. Ця плоска фігура являє собою криволінійну трапецію, тому її площу обчислюють за формулою (1):

Нехай тепер функція , , - недодатна неперервна функція. У цьому разі графік цієї функції лежить під віссю Ох і

.

Розглянувши допоміжну функцію , , дістанемо, що площа криволінійної трапеції , обмеженої графіком функції , відрізком осі Ох, відрізками прямих і , обчислюється за формулою (1), тобто

(2)

Розглянемо тепер криволінійну трапецію обмежену графіком функції , відрізком осі Ох, відрізками прямих і . Оскільки графік функції симетричний графіку функції відносно осі Ох, то криволінійні трапеції і рівні. Як відомо, рівні фігури мають рівні площі, тому площу криволінійної трапеції також обчислюватимемо за формулою (2).

Приклад 2. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями , і віссю Ох.

Розв’язання. Графік функції , лежить під віссю Ох, тому для обчислення площі даної плоскої фігури застосовуємо формулу (2):

.

Нехай тепер , , - неперервна на відрізку функція, графік якої перетинає відрізок осі Ох в скінченному числі точок. З формул (1) і (2) випливає, що площу плоскої фігури, обмеженої графіком функції , відрізком осі Ох, відрізками прямих і , обчислюють за формулою

. (3)

Приклад 3. Обчислити площу плоскої фігури, обмеженої відрізком осі Ох, графіком функції , відрізками прямих і

Розв’язання. Розв’язавши рівняння , дістанемо, що графік функції на відрізку перетинає вісь Ох у точках . Отже, за формулою (3)

Розглянемо тепер фігуру , обмежену відрізками прямих і і графіками невід’ємних неперервних функцій , , і , . Оскільки фігуру можна розглядати як різницю криволінійних трапецій і , то з урахуванням формули (1) дістанемо таку формулу для обчислення площі фігури :

(4)

Приклад 4. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями і

Розв’язання. Розв’язавши рівняння , знайдемо абсциси точок перетину графіків функцій і : і . Використовуючи формулу (4), обчислимо площу фігури:

Якщо треба обчислити площу складнішої плоскої фігури, то шукану площу намагаються виразити у вигляді алгебраїчної суми площ деяких криволінійних трапецій. Так, наприклад, площу фігури, зображеної на рисунку обчислюють за формулою

.

Нехай криві АВ, ВС і АС – відповідно графіки таких функцій: , ,

, і , . Тоді

. (5)

Приклад 5. Обчислити площу плоскої фігури, обмеженої лініями , , , , і

Розв’язання. Для знаходження площі скористаємося формулою (5):

.

Література:

ОЛ1 стр. 365-367

Лекція 35. Обчислення об’ємів тіл обертання.

1. Виведення формули для обчислення об’єму тіла обертання.

2. Обєм циліндра.

3. Обєм конуса.

4. Обєм кулі.

Розглянемо практичний приклад. Припустимо, що нам потрібно обчислити об'єм лимона, який має неправильну форму, і тому використати яку-небудь відому формулу об'єму неможливо. По­ступимо таким чином. Розріжемо лимон на тоненькі дольки. Кож­ну дольку приблизно можна вважати циліндром, радіус якого можна виміряти. Об'єм такого циліндра легко обчислити за гото­вою формулою. Склавши об'єми маленьких циліндрів, ми одер­жимо приблизно об'єм всього лимона. Наближення буде тим точ­ніше, чим на більш тонкі частини ми зможемо розрізати лимон.

Використаємо аналогічну процедуру для обчислення об'є­му тіла.

На рисунку зображено довільне тіло, об'єм якого по­трібно обчислити. Припустимо, що дане тіло розташоване між паралельними площинами. Вве­демо систему координат так, щоб вісь абсцис була перпенди­кулярна цим площинам. Позначимо через S(x) площу перерізу тіла площиною, перпендикулярною осі абсцис і яка перетинає її в точці х; функція S(x) неперервна на відрізку [а; b].

Розділимо відрізок [а; b] на n рівних відрізків: x₀ = а, х₁, x₂, ..., х_n-1, х_n = b і через точки перетину проведемо площини, пер­пендикулярні осі ОХ. Ці площини розріжуть дане тіло на n шарів.

Об'єм даного тіла приблизно дорівнює сумі об'ємів шарів з основами S(x₀), S(x₁), S(x₂), …, S(x_n-1) і висотою Δx = :

V = V_n = S(x₀)·Δx + S(x₁)·Δx +...+ S(x_n-1) ·Δx = (S(x₀) + S(x₁)+...+S(x_n-1)·Δx.

Точність цього наближення тим вища, чим більше n, тобто, тонші прошарки. Природно вважати, що об'єм даного тіла дорівнює границі об'єму V при n → : . Сума V є інтегральною сумою для неперервної на відрізку [а; b] функції S(x), отже

Виведемо формулу об'єму тіла обертання. Нехай криволі­нійна трапеція обмежена від­різком [а; b] осі абсцис, графі­ком функції у = f(x), не­від'ємної і неперервної на від­різку [а; b], прямими x = а, x = b (рис. 119) обертається на­вколо осі ОХ. При обертанні цієї трапеції навколо осі абсцис ут­ворюється тіло, об'єм якого можна обчислити за формулою

. Але S(x) = πу² або S(x) = π(f(x))², отже,

Приклад 1. Нехай фігура, обмежена прямими , х=4 і віссю Ох, обертається навколо осі Ох. Одержане тіло обертання – конус. Знайти його об’єм.