Розв'язання

Відповідь: .

Найбільш часто для знаходження заданого невизначеного інтеграла використовують методи: безпосереднього інтегруван­ня, заміни змінної (підстановки), інтегрування частинами, а також знаходження заданого інтеграла за допомогою довідника.

Ознайомимось з основними методами інтегрування.

Метод безпосереднього інтегрування

Цей метод базується на рівності  сталі і застосовується у тих випадках, коли підінтегрільна функція f має вигляд однієї із підінтегральних функцій таб­личних інтегралів, але її аргумент відрізняється від змінної інтегрування постійном доданком або постійним множником або постійним множником та постійним доданком.

Приклад. Знайти інтеграли

а)  b)   с) 

Розв’язування.

а) 

У цьому випадку змінна інтегрування х відрізняється від аргумента степеневої функції u8 = (ч + 3)8 на постійний доданок 3;

b) 

У цьому випадку аргумент функції косінус відрізняється від змінної інтегрування х на множник ½

с) 

У цьому випадку змінна інтегрування х відрізняється від аргу­менти степеневої функції u2/5 = (3x – 7)2/5 постійним множником 3 та постійним доданком (­– 7).

Метод підстановки (заміни змінної)

Цей метод містить два прийоми.

a) Якщо для знаходження заданого інтеграла ∫f(x)dx зробити підстановку x = φ(t), тоді має місце рівність

Після знаходження останнього інтеграла треба повернутись до початкової змінної інтегрування х. Для застосування цього прийому треба; щоб функція х - φ (t) мала обернену t = ψ(х).

Приклад. Знайти інтеграл

Розв'язування. Зробимо підстановку х = 5sint, тоді

Отже, одержимо

Із рівності х = 5sin t одержимо t = arcsin (х/5);

Отже, 

b) Якщо зробити заміну змінної, тобто t = φ (х) тоді має місце

рівність 

Після знаходження останнього інтеграли треба повернутись до змінної х, використовуючи рівність t = φ (х).

Приклад. Знайти 

Розв’язування. Нехай  тоді 

Тому 

Метод інтегрування частинами

Цей метод застосовується тоді, коли під інтегралом є добуток функцій, причому хоча би одна з них є трансцендентною (не степеневою).

Нехай u та v деякі функції х, тобто u = u(x), v = v(x).

Розглянемо диференціал добутку цих функцій.

d(uv) = udv + vdu

Інтегруючи обидві частини рівності, одержимо

Звідси, враховуючи властивість невизначеного інтеграла, маємо

Отже, одержали формулу

яку називають формулою інтегрування частинами.

Ця формула дозволяє знаходження інтеграла  звести до зна­ходження інтеграла  . При вдалому обранні u то dv інтеграл може бути табличним або простішим ніж заданий інтеграл 

Приклад. Знайти 

Розв'язування. Нехай u = Inx, dv = dx. Тоді  v = x

За формулою інтегрування частинами (4) одержимо

Література:

ОЛ1 стр.331-334

ОЛ2 стр.156-158

Лекція 31. Інтегрування раціональних дробів

1. Поняття раціонального дробу.

2. Інтегрування раціональних дробів.

Дріб називається раціональним, якщо його чисельник та знаменник є многочлени. Раціональний дріб називається правильним, якщо найвищий показник степеня його чисельника менший від найвищого степеня знаменника . У противному випадку дріб називається неправильним. Інтегруються лише правильні дроби. Неправильний раціональний дріб, у якого степінь чисельника вищий або дорівнює степені знаменника, можна діленням чисельника на знаменник представити його у вигляді суми многочлена та правильного раціонального дробу, в якого степінь чисельника нижчий за степінь знаменника.

Приклад. Задано неправильний дріб

Поділимо чисельник на знаменник і отримаємо:

Найпростішими раціональними дробами І, ІІ, ІІІ та ІV називають правильні дроби вигляду:

І.

ІІ. , ціле додатне число).

ІІІ.

ІV. ціле додатне число і

Умова означає, що квадратний тричлен не має дійсних коренів і на множники не розкладається.

Розглянемо інтегрування найпростіших раціональних дробів. Інтеграли від найпростіших раціональних дробів І-го та ІІ-го типів знаходять методом безпосереднього інтегрування.

І. . (1.1)

ІІ. (1.2)

При інтегруванні найпростішого дробу ІІІ – го типу необхідно виконати перетворення.

ІІІ.

. (1.3)

Інтеграл від найпростішого дробу ІV-го типу шляхом повторного інтегрування частинами зводять до інтеграла від найпростішого дробу типу ІІІ.

Інтеграл від дробово-раціональної функції , де правильний дріб, можна знайти (виразити через елементарні функції) шляхом розкладу на доданки, які завжди приводяться до формул інтегрування. Будь-який правильний раціональний дріб розкладається на суму найпростіших раціональних дробів, коефіцієнти яких можна знайти методом невизначених коефіцієнтів. Вигляд найпростіших дробів визначається коренями знаменника . Можливі наступні випадки:

1. Корені знаменника тільки дійсні та різні числа, тобто

В цьому випадку правильний дріб розкладається на суму найпростіших дробів 1-го типу:

, де - невизначені коефіцієнти, які знаходяться з тотожності, що написана вище.

2. Корені знаменника тільки дійсні числа, причому деякі з них кратні, тобто

Тоді правильний дріб розкладається на суму найпростіших дробів 1-го та 2-го типів:

.

Де невизначені коефіцієнти знаходяться з тотожності, що написана вище.

3. Корені знаменника дійсні числа, причому деякі з них кратні, крім того знаменник містить квадратний тричлен, який не розкладається на множники, тобто

В цьому випадку дріб розкладається на суму найпростіших дробів І-го, ІІ-го та ІІІ-го типів

Де невизначені коефіцієнти, які необхідно знати.

Розв’язання прикладів.

Знайти інтеграли.

Приклад 1.

Розв’язок. Підінтегральна функція - це правильний раціональний дріб, знаменник якого розкладається на множники , тому даний дріб розкладається на суму найпростіших дробів типу І:

Невідомі коефіцієнти А, В, С будемо знаходити методом невизначених коефіцієнтів. Для цього праву частину одержаної вище рівності необхідно привести до спільного знаменника. Отримаємо

Знаменники в обох частинах рівні, тому і чисельники повинні бути рівні, тобто

Остання рівність можлива лише тоді, коли коефіцієнти при однакових степенях х в обох частинах рівності рівні, тобто

Отримали систему рівнянь, з якої знаходимо невизначені коефіцієнти

Підставляємо знайдені значення А, В, С в схему розкладу і отримуємо розклад підінтегральної функції:

Інтегруючи останню рівність маємо:

Приклад 2.

Розв’язок. Підінтегральна функція – це правильний нескоротний раціональний дріб, знаменник якого містить лише дійсні корені, тому цей дріб розкладається на суму найпростіших дробів І-го та ІІ-го типу.

Визначимо невідомі коефіцієнти А, В, С, D, та Е методом невизначених коефіцієнтів та методом задання частинних значень, які доцільно комбінувати. Праву частину рівності приведемо до спільного знаменника, отримаємо:

Знаменники в обох частинах рівні, тому і чисельники повинні бути рівні:

Нагадаємо, що отриманий вираз є тотожністю, а через це рівність повинна зберігатися при будь-якому значенні х. При х=-2 отримуємо:

При

Нам залишилось визначити коефіцієнт В, С, Е. Тепер будемо порівнювати коефіцієнти при однакових степенях х в лівій та правій частинах рівності. Коефіцієнти при х⁴ в лівій частині дорівнює нулю (х⁴ в лівій частині відсутній), а в правій С+Е. Через це С+Е=0

Вільний член в лівій частині дорівнює -8, а в правій – 4А-4В+4С-D=2Е.

На основі цього отримуємо друге рівняння: 4А-4В+4С-D-2Е=-8,

в якому А та D відомі ( , маємо

Ми порівняли саме вільні члени, тому що це можливо зробити, не виконуючи множення та піднесення до степені у правій частині рівності.

Для того, щоб отримати третє рівняння для визначення В, С і Е, знову повернемося до способу задання частинних значень.

Якщо х=2, отримуємо:

Знаючи, що , це рівняння прийме вигляд

Таким чином, для визначення В, С і Е отримали систему рівнянь:

Розв’язавши систему, отримаємо:

Отже, маємо:

Тепер розклад підінтегральної функції має вигляд:

Інтегруючи цю рівність, отримуємо:

Приклад 3.

Розв’язок. Підінтегральна функція – це правильний нескоротний дріб, знаменник якого: . Маємо, що знаменник містить квадратний тричлен, який не розкладається на множники, та два дійсних кореня х=0 та х=-1, то даний дріб розкладається на суму найпростіших дробів І-го та ІІІ-го типу

Невідомі коефіцієнти А, В, М та N будемо шукати методом невизначених коефіцієнтів. Для цього праву частину рівності потрібно привести до спільного знаменника, отримаємо:

Знаменники в обох частинах рівні, тому і чисельники повинні бути рівні, тобто:

Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях букви х, ми отримуємо систему рівнянь для знаходження коефіцієнтів А, В, М, N

Отже, розклад підінтегральної функції приймає вигляд

Інтегруючи цю рівність, отримаємо:

Література:

ОЛ2 стр.157

Лекція32.Визначений інтеграл.

1. Формула Ньютона-Лейбніца.

2. Властивості визначеного інтеграла

3. Розв’язування прикладів

У математиці розроблено методи, що дозволяють обчислю­вати площі фігур, межа яких складається з кривих ліній.

Тепер, використовуючи знання про первісну функції, ми на­вчимося знаходити площі фігур, які називаються криволінійни­ми трапеціями.

Криволінійною трапецією називається фігура, обмежена графі­ком неперервної функції у = f(x), яка не змінює знак на відрізку [а; b], прямими x = а, х = b і відрізком [а; b].

Нехай треба обчислити площу криволінійної трапеції, обме­женої зверху графіком неперервної функції у = f(x), яка приймає додатні значення, з боків відрізками прямих x = а, х = b, знизу відрізком [а; b], який лежить на осі ОХ .

Розіб'ємо відрізок [a; b] на л рівних частин й позначимо абс­циси точок поділу через х₁, x₂ ..., x_n-1, a = x_o, b = x_n: а = x_o < х₁ <x₂ < ... < x_n-1 < x_n= b.

На кожному із цих відрізків побудуємо прямокутники, як по­казано на рисунку . Висота прямокутника, побудованого на відрізку [х_о, х₁], дорівнює у_о = f(x_o); висота прямокутника, побу­довано на відрізку [x₁, х₂], дорівнює у₁ = f(x₁) і т. д.; висота пря­мокутника, побудованого на відрізку [x_n-1, х_n], дорівнює f(x_n-1)·

Довжина основи кожного прямокутника дорівнює . Слід зазначити, що

x₁ – x_o = x₂ – x₁ = x₃ – x₂ = …= x_n – x_n-1 = x

Об'єднання всіх n прямокутників є східчаста фігура. Позна­чимо її площу через S , тоді

S_n = f(x_o) ·Δx + f(x₁)·Δx + f(x₂)·Δx + ... +f(x_n-1)·Δx =(f(x_о)+f(x₁)+···+f(x_n-1))Δx.

Якщо n→ , то Δx→ 0 і, оскільки функція у = f(х) неперерв­на, то східчаста фігура буде все менше відрізнятися від криво­лінійної трапеції. А тому площа S криволінійної трапеції буде все менше відрізнятися від S_n, тобто S_n S. При досить великих п ця наближена рівність справджується з будь-якою точністю. Природно вважати, що S_n при цьому буде наближатися до чис­ла, яке й приймемо за значення площі криволінійної трапеції.

Отже, .

Математика вивчає різні зв'язки між величинами. Важливі приклади таких зв'язків дає механічний рух. Ми вже багато разів зверталися до прикладу руху матеріальної точки по осі. Між положенням x(t) (координатою) точки і її швидкістю v(t) існує зв'язок:

v(t) = x’(t).

Почнемо знову із задачі про механічний рух.

Нехай точка рухається з постійною швидкістю υ = υ₀ . Графіком швидкості в системі координат (t; υ) буде пряма υ = υ₀, паралельна осі часу t. Якщо вважати, що в початковий момент часу t = 0 точка знахо­дилась в початку координат, то шлях її s, пройдений за час t обчислюється за формулою s = υ₀ t. Величина υ₀ t являє собою площу прямокутника, обмеженого графіком швидкості, віссю t і двома вертикальними прямими, тобто шлях точки можна об­числити як площу криволінійної трапеції . Звернемося до випадку нерівномірного руху. Тепер швидкість можна вважати постійною тільки на маленькому проміжку часу.

Розіб'ємо проміжок часу [0;Τ] на n рівних частин ;

0 = t₀ < t₁ < t₂ < ... < t_n-1 < t_n = Τ,

t₁ - t₀ = t₂ – t₁ = …= t_n – t_n-1 = Δt.

Шлях, пройдений тілом за проміжок часу [t_k; t+Δt], де k = 0, 1, ..., n - 1 приблизно дорівнює добутку υ(t_k)·Δt, а шлях, пройдений тілом за проміжок часу [0; Τ], приблизно дорівнює

.

Якщо n → , то Δt → 0, і тоді шлях, пройдений тілом за про­міжок часу [0; T], який позначимо через S, дорівнює .

Отже, S = .

Обидві задачі, які ми розглянули, розв'язувалися одним і тим самим методом, яким розв'язують багато інших задач (знахо­дження роботи змінної сили, знаходження маси неоднорідного стержня і т. д.). Узагальнемо цей метод. Розглянемо непе­рервну функцію у = f(x), не­від'ємну на відрізку [а; b]. Розіб'ємо відрізок [а; b] на n рівних частин а = x₀ < x₁ < x₂ < … < x_n-1 < х_n = b, довжина кожної частини дорівнює = Δx.

Утворимо суму S добутків f(x_i)·Δx, де і = 0; 1; ... ; n - 1, яка називається інтегральною сумою: S_n = f(x_o)·Δx + f(x₁)·Δx + f(x₂)·Δx + ... + f(x_n-1)·δx·.

Знайдемо S = .

За означенням цю границю називають інтегралом функції y = f(x) від a до b і позначають (читають так: «інтеграл від a до b еф від x де ікс»).

У позначенні інтеграла все вказує на спосіб його утворення. Знак інтеграла нагадує видовжену латинську букву S — першу букву слова summa (сума). Підінтегральний вираз f(x)dx нагадує вигляд кожного окремого доданка f(x₁)·Δx інтегральної суми. Множник dx в математиці називають диференціалом. Число а називається нижньою межею інтегрування, а число b — верхньою межею інтегрування. Таким чином, = .

Якщо F(x) — первісна для функції f(x) на відрізку [а; b], то

.

Ця формула називається формулою Ньютона-Лейбніца. Ця формула правильна для будь-якої неперервної на відрізку [а; b] функції f(x), пов'язує поняття інтеграла й первісної для даної функції, є правилом обчислення інтегралів.

Для зручності запис різниці F(b) - F(a) прийнято скорочено позначати . При такому позначенні формула Ньютона-Лейбніца набирає вигляду:

Приклад 1. Обчисліть