Розв'язання

1. y - y_о = f '(x_o)(x – x_o) — рівняння шуканої дотичної.

2. у_o= 1² – 4·1 = 1 – 4 = - 3.

3. .

4. Підставляємо значення x_o = 1, y_o = –3, f'(x_o) = –2 у рівняння дотичної: y + 3 = –2(x – 1), або у = – 3 – 2x + 2, або y = –1 – 2х (рис. 33).

Фізичний зміст похідної

Ми розглядали задачу про знаходження миттєвої швидкості прямолінійного руху матеріальної точки. Порівнюючи одержані результати з означенням похідної, можна зробити висновок: якщо матеріальна точка рухається прямо­лінійно і її координата змінюється по закону s = s(t), то швидкість її руху v(t) в момент часу t дорівнює похідній s'(t):

v(t) = s'(t).

Прискорення матеріальної точки a(t) можна визначити за допомогою похідної 2 порядку тобто:

a(t) = s’'(t).

З точки зору фізики диференціювання - це визначення швидкості _{зміни змінної величини. сила струму є величиною , яка є похідна по часу від заряду}

_{потужність – величина, яка є похідною від роботи по часу.}

Задача . Заряд конденсатора ємністю 10 пФ коливального контуру при ^{здійсненні вільних електромагнітних коливань змінюється за законом} q=10^–6sin l0⁵t. Знайти період коливань, амплітудне значення сили струму в котушці. Чому дорівнює енергія електричного поля конденсатора в момент, коли сила струму в котушці складає половину її амплітудного значення ?

За умовою задачі нас цікавить час, коли сила струму в котушці складає половину її амплітудного значення, тобто маємо cos10⁵ t₁=0,5 , звідси значення синуса аналогічного аргументу становить sin10⁵ t₁= , q(t₁)=Q_max· W_ел(t₁)=

Відповідь: 20 мкс, 314 мА, 37,5 мДж

Література:

ОЛ1, 196-199

Лекція 28.Ознаки сталості, зростання, спадання функції.

1. Поняття проміжків монотонності.

2. Алгоритм знаходження проміжків монотонності.

3. Розв’язування прикладів

4. Поняття екстремумів

5. Алгоритм знаходження екстремумів.

6. Розв’язування прикладів.

За допомогою похідної можна встановлювати проміжки зростання і спадання функції.

Відомо, що функція y = f(x) називається зростаючою на деякому проміжку, якщо для будь-яких х₁ і х₂, що належать проміжку, із умови х₂ > х₁ випливає, що f(x₂) > f(x₁).

Дотична в кожній точці графіка зростаючої функції, як видно з рис. , утворює з додатним напрямом осі ОХ або гострий кут, або кут, що дорівнює нулю (в останньому випадку дотична паралельна осі ОХ).

Виходячи із геометричного змісту похідної: tg α = f’(x_o), це означає, що похідна в кожній точці проміжку невід’ємна, тому для зростаючої функції f(x) виконується умова: .

Функція y = f(x) називається спадною на проміжку, якщо для будь-яких х₁ і х₂, що належать цьому проміжку, із умови х₂ > х₁ випливає, що f(x₂) < f(x₁). Дотична в кожній точці графіка спадної функції утворює з віссю ОХ або тупий кут, або кут, що дорів­нює нулю, тому для функції f(x), яка спадає на деякому проміжку, вико­нується умова f'(x) < О.

Видно також, що одна і та ж функція може на одному про­міжку області її визначення зростати, а на іншому — спадати. Характер по­ведінки функції на кожному із цих проміжків визначається знаком її по­хідної.