Правила обчислення диференціала

Правило 1. Нехай .

Тоді

або

Правило 2. Дано .

Тоді

Правило 3. Маємо , .

Тоді

Приклад. . Знайти диференціал

 за правилом 3 маємо:



Правило 4. Якщо , , то

Правило 5. Якщо функція має обернену , то

.

Правило 6. Якщо функції задані у параметричному вигляді

, ,

то

.

Таблиця диференціалів

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

Диференціали вищих порядків

Диференціал функції є також функцією незалежної змінної, а тому його можна диференціювати. Розглянемо функцію .

Означення. Другим диференціалом функції у = f(x) називається вираз d(dy).

Позначення:

Аналогічно дістаємо третій диференціал і т. д. до диференціала n-го порядку .

Диференціал незалежної змінної dx не залежить від х, тому, диференціюючи dx за х, слід розглядати dx як величину сталу відносно х. Отже, приходимо до простих співвідношень між послідовними диференціалами і послідовними похідними:

(1)

Приклад. Знайти третій диференціал функції

.

 Згідно з (1) дістаємо:



Література:

ОЛ1 стр.223-225

Лекція 26-27. Геометричний зміст похідної. Фізичний зміст похідної

1. Геометричний зміст похідної.

2. Рівняння дотичної до графіка функції.

3. Виконання вправ.

Ми розглядали задачу про знаходжен­ня кутового коефіцієнта дотичної. Порівнюючи одержані резуль­тати з означенням похідної, можна зробити висновок: значення похідної функції у = f(x) в точці x_o до­рівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції в точці з абсцисою x_o : f'(x_o) = k = tg α .

Розглянемо функцію у = f(x). Її гра­фік зображено на рис.

У точці М(x_o;y_o) проведено дотичну до кривої у=f(x). Складемо рівняння дотичної AM, знаючи координати точки М(x_o;y_o) дотику і рівняння у = f(x) кри­вої. Дотична — це пряма. Рівняння будь-якої прямої має вигляд: у = kx + b. Оскільки k = f'(x_o), тому рівняння дотичної має вигляд:

у = f'(x_o)x + b. (1)

Знайдемо b, виходячи з того, що дотична проходить через точку М(x_o;y_o) і тому її координати задовольняють рівнянню дотичної:

у_о = f '(х_o) · х_o + b, звідси b = у_o – f '(x_o) · x_o.

Тепер підставимо значення b в рівняння (1) дотичної і одер­жимо:

у = f '(x_o) ·x + у_о – f '(x_o) · x_o y – y_о = f '(x_о )(x – x_o)·

Отже, рівняння дотичної до кривої у = f(x) в точці М(x_o; у_o) має вигляд: y – y_о = f '(x_o)(x – x_o). (2)

Рівняння дотичної до кривої у = f(x) у заданій точці x_o можна знаходити за таким планом (схемою):

1. Записуємо рівняння (2) дотичної: y – y_о = f '(x_o)(x – x_o).

2. Знаходимо у_o = f(x_o)·

3. Знаходимо значення f '(x) у точці x_o: f '(x_o).

4. Підставляємо значення x_o, y_o і f '(x_o) y рівняння (2).

Рівняння нормалі до кривої можна вивести з самого поняття – це пряма, перпендикулярна до дотичної:

Приклад 1. Складіть рівняння дотичної до графіка функції у = х² - 4х в точці x_o = 1. Виконайте схематичний рисунок.