МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ВІННИЦЬКИЙ КОЛЕДЖ

НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ ХАРЧОВИХ ТЕХНОЛОГІЙ

М.М.Бараболя вища математика курс лекцій

INCLUDEPICTURE "http://olvija.at.ua/Foto/foto2/olimp.jpg" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://olvija.at.ua/Foto/foto2/olimp.jpg" \* MERGEFORMATINET

Вінниця, 2014

УДК 37.041: 371.14

Бараболя М.М. Вища математика: Курс лекцій для студентів всіх спеціальностей. Вінниця, ВКНУХТ, 2014 р. – 163 с.

У посібнику подані лекції зі всіх розділів курсу предмету. Даний курс лекцій може бути використаний при вивченні вищої математики студентами IІ та III року навчання Вінницького коледжу НУХТ як під час проведення занять, так і для самостійної роботи. Також даний посібник можуть використовувати вчителі математики для підготовки до занять.

Укладач: Бараболя М.М., викладач математики Вінницького коледжу НУХТ

Рецензент: Долян К.В., викладач математики Вінницького коледжу НУХТ

Ухвалено на засіданні навчально-методичної ради Вінницького коледжу НУХТ

Протокол №___від_______________2014р.

Голова навчально-методичної ради

________________Н.М.Данильченко

© М.М.Бараболя, 2015

© ВКНУХТ,2015

Лекція 1. Комплексні числа в алгебраїчній формі

1. Поняття комплексних чисел

2. Алгебраїчна форма комплексних чисел

3. Дії над комплексниими числами в алгебраїчній формі

Означення. Комплексним числом називається число виду a + іb, де a, b  R, .

Дійсне число а називається дійсною частиною комплексного числа а + іb, а дійсне число b — його уявною частиною. Число і називається уявною одиницею.

Означення. Два комплексні числа а + bі і с + dі називаються рівними, якщо а = с і b = d.

Означення. Два комплексні числа виду а + bі та а – bі називаються спряженими.

Комплексні числа зображають на числовій площині. Для цього вибирають на площині прямокутну систему координат (рис. 1). Комплексне число а + іb зображається точкою M (х, y), абсциса x якої дорівнює дійсній частині комплексного числа а(х = а), а ордината у дорівнює уявній частині комплексного числа b (у = b).

Рис. 1

Приклад. Зобразити на площині комплексні числа:

3 + 4і; – 2 + 3і; – 3 – 2і; 4 + 0і; 0 + 2і.

 Рис. 2

а + bі + (c + dі) = a + c + (b + d)і.

Означення. Сумою двох комплексних чисел а + bі і с + dі називається комплексне число a + c + (b + d)і.

Приклад.

1) (– 3 + 5і) + (4 – 8і) = (– 3 + 4) + (5 – 8)і = 1 + (– 3)і;

2) (– 2 + 3і) + (– 2 – 3і) = (– 2 – 2) + (3 – 3)і = – 4 + 0і = – 4.

Означення. Різницею двох комплексних чисел а + bі та с + dі називається комплексне число (а – с) + (b – d)і.

а + bі – (c + dі) = a – c + (b – d)і.

Приклад.

1) (– 5 + 2і) – (3 – 5і) = (– 5 – 3) + (2 – (– 5))і = – 8 + 7і.

2) (3 – 4і) – (3 + 4і) = (3 – 3) + (– 4 – 4)і = 0 + (– 8)і = – 8і.

Означення. Добутком двох комплексних чисел а + bі і с + dі називається комплексне число (ас – bd) + (аd + bс)і.

(a + bі)(c + dі) = ac + adі + bidі + bcі = ac – bd + (ad + bc)і

Зауваження. На практиці не завжди користуються формулою. Можна комплексні числа множити, як двочлени.

Приклад.

1) (1 – 2і)(3 + 2і) = 3 – 6і + 2і – 4і² = 7 – 4і;

2) (а + іb)(а – іb) = а² + b².

Означення. Часткою двох комплексних чисел а + bі і с + dі називається комплексне число

.

 

Приклад.

Означення. Модулем комплексного числа а + bі називається вираз який позначається r або |а + bі|.

Рис. 3

Приклад.

Означення. Кут  між віссю Ох і відрізком ОМ, де точка М зображає комплексне число а + bі, називається аргументом комплексного числа а + bі (рис. 3).

Кожне відмінне від нуля комплексне число має нескінченну кількість аргументів, які відрізняються один від одного на 2k. Для числа 0 аргумент не визначений.

Аргумент  комплексного числа а + bі визначається формулами:

(1)

Зауваження. Щоб користуватися цими формулами, потрібно враховувати знаки абсциси та ординати комплексного числа.

Приклад. Знайти аргумент комплексного числа – 3 – 3і.

 За формулою (1) маємо

, або  = 45,  = 225 і т. ін. Але кут 45 не є аргументом числа – 3 – 3і (рис. 4). Правильною є така відповідь: 225; – 135; 585 і т. д. Цей результат дістаємо, враховуючи, що абсциса та ордината комплексного числа є від’ємними, тобто точка М належить чверті ІІІ.

Рис.4

Означення. Значення аргументу, яке належить проміжку (– ; ), називається головним.

Приклад.Для комплексних чисел – 3 – 3і; 2і; – 5і головне значення аргументу дорівнює – 135; 90; – 90.

Зауваження. Аргумент дійсного додатного числа має головне значення 0; від’ємного числа 180. Головні значення аргументу спряжених комплексних чисел мають одну й ту саму абсолютну величину, але протилежні знаки. Наприклад, головні значення аргументу спряжених чисел – 3 + 3і та – 3 – 3і дорівнюють 135 і – 135.

Література:

Ол.2 ст. 56-58

Лекція 2.Тригонометрична і показникова форми комплексних чисел

1. Тригонометрична форма комплексних чисел

2. Показникова форма комплексного числа

3. Перехід від алгебраїчної до тригонометричної форми комплексних чисел

4. Дії над комплексними числами в показниковій та тригонометричній формахригонометрична форма комплексних чисел

Розглянемо трикутник ОАМ (рис. 3) і запишемо такі співвідношення між його сторонами:

; .

Звідси , тобто маємо:

; ; ; ; , .

(2)

Подання комплексного числа у вигляді (2) називається тригонометричною формою комплексного числа.

Приклад. Записати комплексне число 1 + і у тригонометричній формі (рис. 5).

 Згідно з (2) маємо:

Рис. 5

; . Отже, .

Додавання і віднімання комплексних чисел простіше і зручніше виконувати, коли вони задані в алгебраїчній формі. Для інших алгебраїчних дій зручніша тригонометрична форма.

Наприклад, добуток двох чисел і подається так:

.

Степенем р комплексного числа є число , де р — будь-яке ціле число. Ця формула легко виводиться за означенням добутку комплексних чисел.

Приклад. Знайти , якщо .

 . 

1. Якщо р = n (n — ціле число) і r = 1, дістаємо формулу Муавра:

.

(3)

Якщо р — ірраціональне, то р-й степінь будь-якого числа має нескінченну множину значень.

Приклад. Подати sin3 та cos3 через sin та cos.



Прирівнюючи відповідні абсциси та ординати, дістаємо:

. 

2. Якщо р = 1/n, маємо:

, k = 0, 1, 2, …, n – 1.

(4)

Приклад. Знайти .

 За формулою (3) , . Далі згідно з (4) (рис. 6):

; .

Рис. 6

Формула Ейлера:

Згідно з цією формулою комплексне число можна подати в показниковій формі:

(5)

 Справді, нехай r — модуль комплексного числа z = a + ib, а  — головний аргумент. Тоді

z = r (cos + i sin).

Беручи до уваги формулу Ейлера, дістаємо:

