Завдання №3* Сили інерції й напруження у швидкообертальних механізмах

Вал і жорстко з’єднаний з ним ламаний стержень однакового поперечного перерізу (рис.3, а) обертається зі сталою кутовою швидкістю  навколо осі валу ВС. Діаметр валу d = 3 см , довжина ділянки ламаного стержня .

Необхідно:

1. Побудувати епюру згинальних моментів від сил інерції, які виникають на вертикальній LD і горизонтальній DK ділянках ламаного стержня. Сили інерції валу BC та власну вагу конструкції не враховувати.

2. Знайти допустиме число обертів валу при допустимому напруженні і питомій вазі сталі .

Розв’язування.

При обертанні стержневої системи з сталою швидкістю навколо нерухомої осі виникають відцентрові сили інерції, інтенсивність яких для кожного елементу системи можна визначити за формулою

, (1)

де – питома вага матеріалу, А – площа поперечного перерізу стержня, який розглядається, – прискорення вільного падіння, – кутова швидкість, – відстань від осі обертання до і-го елементу системи.

До системи, яка обертається , додаємо сили інерції, та відповідно принципу Даламбера систему в кожний момент часу розглядаємо в стані рівноваги і використовуємо для її розрахунку методи статики (рис.3, б).

На ділянці LD сили інерції спрямовані вздовж осі, їх інтенсивність змінюється по лінійному закону: в точці L (при ) , в точці D (при ) інтенсивність має максимальне значення

(2)

Рівнодійна сил інерції на цій ділянці дорівнює площі прямокутного трикутника, катети якого та максимальне значення

.

На ділянці сили інерції розподілені рівномірно і направлені по нормалі до прямої, їх інтенсивність дорівнює максимальному значенню (2).

Для побудови епюри згинальних моментів знайдемо опорні реакції. Для цього складемо рівняння рівноваги

Перевіряємо правильність знаходження реакцій

Рис. 3

Будуємо епюру згинальних моментів М по ділянках.

Ділянка : , .

При при .

Ділянка , .

При при . (3)

Ділянка : .

При при .

Ділянка .

Епюра згинальних моментів зображена на рис.3, в.

Для перевірки правильності побудови епюри розглянемо рівновагу вузла L. З рис.3, г маємо

.

Для визначення допустимого числа обертів валу за хвилину n використовуємо умову міцності для небезпечного перерізу , який належить ділянці .

Враховуємо, що

.

Очевидно, що найбільший момент в конструкції дається формулою (3), де для використана формула (2).

З умови міцності

,

,

звідки знаходимо допустиму швидкість обертання

=191 .

Завдання №4 Моделі удару двох тіл

Дві кулі з масами m₁ і m₂ центрально співударяються, маючи до удару швидкості V₁ і V₂ у проекції на вісь центрів 1-2 куль (рис. 4). Визначити:

А) спільну швидкість об’єднаного тіла при непружному ударі та втрату початкової енергії тіл при ударі;

Б) за умови абсолютно пружного удару – швидкості U₁ і U₂ обох тіл після удару. Перевірити закон збереження руху центра мас та збереження енергії при пружному ударі. Дані наведено у Таблиці 4;

В) За умови не зовсім пружного удару, коли задано коефіцієнт відбивання k , знайти швидкості U₁ і U₂ тіл після удару і втрату енергії тіл при ударі.

Числовий приклад: m₁= 6 кг, m₂= 4 кг, V₁ = 10 м/с, V₂ = 6 м/с, k = 0,75.

Розв’язування:

А) Абсолютно непружний удар.

Швидкість об’єднаного тіла після удару при непружному ударі за теоремою про збереження кількості руху системи

(1)

_{і для наших} даних

Рис. 4

Кінетичну енергію після непружного удару можна порахувати через швидкість об’єднаного тіла (1)

₍₂₎

Кінетична енергія тіл до удару, обчислена через початкові швидкості V₁, V₂ тіл, дорівнює

₍₃₎ Таким чином, втрата кінетичної енергії при непружному ударі дорівнює

₍₄₎

_{Якщо різницю енергій (2) і (3) розгорнути у загальному вигляді, то можна отримати ще таку формулу для втрати енергії [5]}

_{(5) і підставлення сюди даних задачі дає}

_{(6) - те ж саме значення (4).}

Б) Абсолютно пружний удар:

Випишемо загальні формули для швидкостей U₁ і U₂ тіл після пружного удару [5]:

(7) і підставимо дані задачі:

(8)

Перевіримо теорему про рух центра мас системи. До удару він рухався зі швидкістю u з (1), тобто зі швидкістю u = 8,4 м/с.

Після удару маси 1 і 2 рухаються зі швидкостями U₁ і U₂ з (8). Тоді їх центр мас рухається зі швидкістю

(9) тобто рух центра мас при дії внутрішніх сил співударяння не змінюється.

Розглянемо енергетичні співвідношення при пружному ударі. Кінетична енергія до удару була обчислена вище (3) і дорівнює

₍₁₀₎

_{Після удару завдяки швидкостям U1 і U2 кінетична енергія системи цих тіл буде}

_{(11) тобто і кінетична енергія тіл при пружному ударі зберігається.}

_{В) Не зовсім пружний удар:}

_{Швидкості після не зовсім пружного удару з коефіцієнтом відбивання k знаходяться за формулою [5]:}

(12)

Підставляємо сюди дані задачі й отримуємо:

(13) Підрахуємо кінетичну енергію зі швидкостями (13) після удару:

_{Таким чином, враховуючи початкову енергію Т0 до удару (3), маємо втрату}

_{(14) яка приблизно у 2 рази менша, ніж при абсолютно непружному ударі (6).}

_{Але центр мас цих двох тіл, які після удару мають швидкості (13), буде рухатися зі швидкістю}

₍₁₅₎

_{яка у всіх трьох моделях удару і повинна бути однаковою, оскільки внутрішні сили співударяння в системі не можуть змінити рух її центра мас.}