Задание №6. Решение прямой и обратной геодезических задач

Из множества геодезических задач выделяют две: прямую и обратную. Они решаются на плоскости.

6.1. Прямая геодезическая задача заключается в определении координат (X_В;Y_В) конечной точки отрезка АВ прямой линии по его длине (горизонтальному проложению d), направлению (дирекционному углу α или румбу r) и координатам (X_А;Y_А) начальной точки. Румб ( r )– острый угол между линией и ближайшим к ней направлением меридиана – северным или южным. Название румба соответствует названию четверти, в которой находится линия. Румб обратного направления равен прямому по величине, но название изменяется на противоположное, например, r_св = r_юз .

Рис. 6. Прямая и обратная геодезические задачи

Формулы прямой геодезической задачи:

(14)

г де ∆x и ∆y - приращения координат

(15)

Формулы (15) справедливы при любых значениях α.

Связь между дирекционными углами и румбами показана на рис. 7 и в табл. 7.

Таблица 7

Связь между дирекционными углами и румбами

Четверть		Дирекционный угол, α		Румб, r		Знаки приращений координат
номер	название					Δх	Δу
І	СВ		0º – 90º		r=α		+	+
ІІ	ЮВ		90º – 180º		r=180º – α		_	+
ІІІ	ЮЗ		180º – 270º		r=α – 180º		_	_
ІV	СЗ		270º – 360º		r=360º – α		+	_

Рис. 7. Связь между дирекционными углами и румбами

Содержание задания и порядок решения

Исходные данные: заданные на карте точка и отрезок.

Порядок решения:

1. Определяют по карте прямоугольные координаты начальной точки отрезка.

2. Измеряют длину отрезка с помощью поперечного масштаба.

3. Измеряют транспортиром дирекционный угол отрезка.

4. Вычисляют приращения координат и координаты конечной точки отрезка по формулам (15) и (14) с округлением до точности масштаба.

5. Определяют по карте прямоугольные координаты конечной точки отрезка и сравнивают с вычисленными. Расхождение не должно превышать 3t – утроенной точности масштаба.

Решение задачи выполняют в табл. 8.

Таблица 8

Решение прямой геодезической задачи

Но-ме- ра точек	Длина отрез- ка	Направление линии		Приращения координат, м		Координаты точек, м
		α º ′	r º ′			Начальной и вычисленные конечной		Конечной, определенные по карте
				Δх	Δу	X	Y		X	Y
А						v	v
	v	v	v	v	v
В						v	v		v	v

«v» - место записи величин

6.2. Обратная геодезическая задача заключается в нахождении длины (горизонтального проложения) и направления (сначала румба, затем дирекционного угла) отрезка прямой линии по координатам его конечных точек.

Возможны два варианта решения: первый – сначала определяют направление (дирекционный угол), затем длину отрезка; второй – сначала определяют длину отрезка, а затем его направление. Основным считается первый вариант, второй используется для контроля.

Первый вариант решения:

1. Определяют по карте прямоугольные координаты конечных точек отрезка.

2. Вычисляют приращения координат Δх и Δу, вычитая из значений координат конечной точки координаты начальной точки отрезка.

3. Вычисляют румб по формуле

(16) Вычисления тангенса ведут до четырех знаков после запятой, румба до 1’.

4. Вычисляют дирекционный угол по формуле зависимости между румбом и дирекционным углом, предварительно определив по знакам приращений координат номер четверти, в которой расположен отрезок (по табл.7).

5. Вычисляют длину отрезка по трем формулам:

(17)

Расхождение между тремя значениями длины не более не более утроенной точности масштаба, ≤ 3t, м.

Второй вариант решения:

1.Определяют по карте координаты конечных точек отрезка и вычисляют приращения координат.

2. Определяют длину отрезка по теореме Пифагора

(18)

3.Ввычисляют румб по двум формулам

. (19)

4. Вычисляют дирекционный угол по формулам зависимости между румбом и дирекционным углом (табл.7), если расхождение двух значений румба не превышает точности вычислений.

Результаты вычислений представляют в табл. 9

Таблица 9