16. Принятие решений на основе анализа иерархий (сущность метода анализа иерархий, построение иерархий, шкала отношений, определение глобального вектора приоритетов).

Метод Анализа Иерархий (МАИ) – математический инструмент системного подхода к решению проблем принятия решений. МАИ не предписывает лицу, принимающему решение (ЛПР), какого-либо «правильного» решения, а позволяет ему в интерактивном режиме найти такой вариант (альтернативу), который наилучшим образом согласуется с его пониманием сути проблемы и требованиями к ее решению. Этот метод разработан американским ученым Томасом Л. Саати в 1970 году, с тех пор он активно развивается и широко используется на практике. Метод анализа иерархий можно применять не только для сравнения объектов, но и для решения более сложных проблем управления, прогнозирования и др.

В типичной ситуации принятия решения:

• рассматриваются несколько вариантов решения,

• задан критерий, по которому определяется в какой мере то или иное решение является подходящим,

• известны условия, в которых решается проблема, и причины, влияющие на выбор того или иного решения.

Постановка задачи в процессе применения метода анализа иерархий: Пусть имеется множество альтернатив (вариантов решений):  В₁, В₂, … В_k. Каждая из альтернатив оценивается списком критериев: К₁, К₂, … К_n. Требуется определить наилучшее решение.

Этапы МАИ

1. Очертить проблему и определить общую цель.

2. Построить иерархию, начиная с вершины: цель, критерии, перечень альтернатив.

3. Построить множество матриц парных сравнений для каждого из нижних уровней по принципу: одна матрица для каждого элемента примыкающего сверху уровня. Этот элемент называется управляемым по отношению к элементу, находящемуся на нижнем уровне. Элементы любого уровня сравниваются друг с другом относительно их воздействия на управляемые элементы.

4. На этапе 3 потребуется (n(n-1))/2 суждений с учетом свойства обратной симметрии.

5. После проведения всех парных сравнений определяются max, IС, СI, RС и т.д. 6. Этапы 3, 4, 5 провести для всех уровней и групп иерархии.

7. Использовать иерархический синтез для взвешивания собственных весов. Вычислить сумму по всем соответствующим взвешенным компонентам собственных векторов уровня иерархии, лежащего ниже.

8. Определить согласованность всей иерархии, перемножив каждый индекс согласованности на приоритет соответствующего критерия; полученные числа просуммировать. Результат делится на выражение такого же типа, но со случайным индексом согласованности. Приемлемое отношение согласованности принимают до 10%. Это и есть основной инструмент сложной аналогичной системы.

Построение иерархии.

Построение иерархии начинается с очерчивания проблемы исследования. Далее строится иерархия, включающая цель на верхнем уровне, промежуточные уровни (например, критерии) и альтернативы, формирующие самый нижний иерархический уровень

Верхний индекс у элементов указывает уровень иерархии, а нижний – их порядковый номер.

Для установления относительной важности элементов иерархии используется шкала отношений (таблица). Данная шкала позволяет ЛПР ставить в соответствие степеням предпочтения одного сравниваемого объекта перед другим некоторые числа.

Степень значимости	Определение	Объяснение
1	Одинаковая значимость	Два действия вносят одинаковый вклад в достижение цели
3	Некоторые преобладание значимости одного действия над другим (слабая значимость)	Существуют соображения в пользу предпочтения одного из действий, однако эти соображения не достаточно убедительны
5	Существенная или сильная значимость	Имеются надежные или логические суждения для того, чтобы показать предпочтительность одного из действий
7	Очевидная или очень сильная значимость	Убедительное свидетельство в пользу одного действия над другим
9	Абсолютная значимость	Свидетельства в пользу предпочтения одного действия другому в высшей степени убедительны
2,4,6,8	Промежуточные значения между двумя соседними суждениями	Ситуация, когда необходимо компромиссное решение
Обратные величины приведенных ненулевых величин	Если действию i при сравнении с действием j приписывается одно из определенных выше ненулевых чисел, то действию j при сравнении с действием i приписывается обратное значение	Если согласованность была постулирована при получении N числовых значений для образования матрицы

Правомочность этой шкалы доказана теоретически при сравнении со многими другими шкалами. При использовании указанной шкалы ЛПР, сравнивая два объекта в смысле достижения цели, расположенной на вышележащем уровне иерархии, должен поставить в соответствие этому сравнению число в интервале от 1 до 9 или обратное значение чисел. В тех случаях, когда трудно различить столько промежуточных градаций от абсолютного до слабого предпочтения или этого не требуется в конкретной задаче, может использоваться шкала с меньшим числом градаций.

В пределе шкала имеет две оценки:

1 — объекты равнозначны;

2 — предпочтение одного объекта над другим.

Особенности определения векторов приоритетов в иерархиях с разным числом альтернатив у критериев. (Там где вертикальные черточки – это матрица!!!!) Примеры иерархий с разным числом альтернатив у критериев: Алгоритм определения вектора приоритетов:

1. исходная проблема структурируется в виде иерархии, устанавливающей взаимосвязь между множеством альтернатив {А1, А2,…,Аr} и множеством критериев {Е1, Е2,…,Ер}

2. 2.на основе иерархий строиться бинарная матрица, которая устанавливает соответствие м ежду альтернативами и критериями

Е ₁ Е₂ Е_p [B] = А₁ 1 0 0 А₂ 1 1 0 А₃ 0 1 1 А₄ 0 1 1 А₅ 0 0 1 Элемент матрицы [B] b_ij принимает значение 0 или 1. Если альтернатива А_i оценивается по критерию Е_j, то b_ij=1, иначе 0.

3. Осуществляется экспертная оценка альтернатив по соответствующим критериям и с учетом матрицы [B] строится матрица [A], следующего вида: Е 1 Е2 … Ер [А] = А1 а₁₁ а₁₂ … а_1р А2 а₂₁ а₂₂ … а_2р

4. … … Аr а_r1 а_r2 … а_rр В матрице [A] экспертные оценки {a_ij} представляют векторы приоритетов альтернатив по соответствующим критериям. Если альтернатива не оценивается по критерию, то значение {a_ij}=0. В матрице [A] векторы приоритетов имеют разное число значений. Эти векторы могут быть нормированными или ненормированными, в зависимости от метода оценки альтернатив (не нормируем, если используются парные сравнения; нормируем, если - метод стандартов или копирования). 4. определяется нормированный вектор приоритетов критериев 5. формируются структурные критерии S и L, отображаемые соответствующими диагональными матрицами [S] и [L]. Состав матрицы [S]: Е 1 Е2 … Ер [S] = А1 (∑ a_i1)^-1 0 … 0 А2 0 (∑ a_i2)^-1 … 0 … … Аr 0 0 … (∑ a_ip)^-1 a_ij – значение вектора приоритетов из матрицы [A]. С помощью матрицы [S] проводится процедура нормирования матрицы [A] (векторов приоритетов), если она заполнена методом сравнения относительно стандартов или копированием. Состав матрицы [L]: Е 1 Е2 … Ер [S] = А1 R1/N 0 … 0 А2 0 R1/N … 0 … … Аr 0 0 … R1/N Rj- число альтернатив Ai, находящихся под критерием Ej N - ∑ Rj – суммарное число альтернатив, находящихся под всеми критериями

6. определяется вектор приоритетов альтернатив относительно критериев а) когда экспертные оценки в матрице [A] не нормированы: W = [A] * [S] * [L] * X * [B] б) когда экспертные оценки в матрице [A] нормированы: W = [A] * [L] * X * [B] Матрица [B] предназначена для окончательного нормирования альтернатив: Е 1 Е2 … Ер [S] = А1 (∑ x_i)^-1 0 … 0 А2 0 (∑x_i)^-1 … 0 … … Аr 0 0 … (∑x_i)^-1 x_i- значение ненормированного вектора приоритетов, полученное после последовательного перемножения [A], [S], [L], X.