1. Площі плоских фігур.

1)Площа криволінійної трапеції (мал. 1.), обмежену графіком неперервної функції ( де ), відрізком вісі та відрізками прямих , , обчислюється за формулою .

2)Площа фігури (мал.. 2.), обмежену графіками неперервних функцій та ( де ), відрізками прямих , , обчислюється за формулою .

Приклад 14. Обчислити площу фігури, обмежену параболою , прямими

, та віссю абсцис.

Р озв’язання: Побудуємо необхідну площу (мал. 3). Тоді

Приклад 15. Обчислити площу фігури, обмежену параболами та .

Розв'язання: Побудуємо необхідну площу (мал.4). Знайдемо межі інтегрування, тобто абсциси точок перетину графіків функцій та . Для цього розв'яжемо систему: . Отже, ,

Тоді

.

2. Об’єм тіла обертання.

Об’єм тіла, утвореного обертанням біля осі криволінійної трапеції , обмеженої неперервною кривою ( де ), відрізком осі та відрізками прямих та (мал. 5), обчислюється за формулою:

.

Об’єм тіла, утвореного обертанням біля осі криволінійної трапеції , обмеженої неперервною кривою ( де ), відрізком осі та відрізками прямих та (мал. 6), обчислюється за формулою:

Приклад 16. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням біля вісі фігури, обмеженої графіком функції , прямою та віссю .

Розв’язання: Накреслимо даний об’єм (мал.7).

Тоді Приклад 17. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням біля вісі фігури, обмеженої параболою та прямою .

Розв’язання: Накреслимо даний об’єм (мал.8). Тоді , але з , маємо , тоді

.

3. Шлях, пройдений тілом.

Якщо точка рухається прямолінійно та її швидкість є відома функція часу , тоді шлях, який пройшло тіло за проміжок часу , обчислюється за формулою: .

Приклад 18. Знайти шлях, що виконало тіло за 10с від початку руху, якщо його швидкість змінюється за законом: .

Розв’язання: .

Приклад 19. Швидкість тіла, яке рухається прямолінійно, дорівнює . Обчислити шлях, пройдений тілом від початку руху до зупинки.

Розв’язання:

В момент зупинки швидкість тіла дорівнює , тобто ; ,

тобто .Тоді 4.Робота сили.

Якщо змінна сила дає за напрямом вісі , тоді робота сили на відрізку обчислюється за формулою:

Приклад 20. Обчислити роботу, яку потрібно здійснити, щоб стиснути пружину на , якщо сила потрібна для стискання її на .

Розв’язання:

Згідно з законом Гука, сила , яка розтягує або стискає пружину на метрів, дорівнює , де - коефіцієнт пропорційності. За умовою , , тоді , тоді . Шукана робота сили буде:

Приклад 21. Для стискання пружини на необхідно здійснити роботу в . На яку довжину треба стиснути пружину, щоб здійснити роботу в .

Розв’язання: Згідно з законом Гука, , тоді . Але за умовою, тоді , тобто .

Отже, . Це означає, що робота буде

, що за умовою . Отже, ; , тобто .

З цього випливає, що пружину необхідно стиснути на .