Інтеграл та його застосування.

Програма

Первісна. Невизначений інтеграл та його властивості. Основні табличні інтеграли. Основні властивості та обчислення визначеного інтеграла. Інтегрування заміною змінної (методом підстановки). Метод інтегрування за частинами. Визначений інтеграл та його геометричний зміст. Обчислення площ фігур за допомогою визначеного інтегралу. Застосування інтегралу до розв’язання фізичних задач.

Методичні вказівки

1. Вивчити навчальний матеріал за підручником В. Т. Лисичкин, И. Л. Соловейчик "Математика" розділ V, чи за будь-яким іншим підручником з поданих у списку літератури.

2. Ознайомитися з методичними вказівками до даної теми та розібрати розв’язання прикладів з даного посібника.

3. Дати відповіді на питання та виконати вправи для самоперевірки.

Поняття невизначеного інтеграла. Табличні інтеграли.

Якщо - первісна для на деякому проміжку, то функція , де , також є первісною для функції на цьому проміжку.

Причому, .

Сукупність всіх первісних функцій на інтервалі < < називають невизначеним інтегралом від функції на цьому інтервалі та пишуть .

Таблиця інтегрування:

Приклад №1. Знайти інтеграл

Розв’язання:

Приклад №2. Знайти інтеграл

Розв’язання:

Приклад №3. Знайти інтеграл

Розв’язання:

Приклад №4. Знайти інтеграл

Розв’язання:

Основні властивості та обчислення визначеного інтеграла.

Якщо - первісна для функції , тоді приріст первісних функцій, при зміні аргументу від х = а до х = в, називається визначеним інтегралом та позначають , де а та в – відповідно нижня та верхня границі інтегрування, тобто = .

Для обчислення визначеного інтеграла використовують формулу Ньютона-Лейбніца:

З цієї формули легко побачити порядок обчислення визначеного інтеграла:

1) знайти невизначений інтеграл від даної функції;

2) в отриману первісну підставити замість аргументу спочатку верхню межу, потім нижню межу інтегрування;

3) результат відняти.

Приклад №5. Обчислити інтеграли: а) ; б)

Розв’язання:

Властивості визначеного інтегралу

1. Визначений інтеграл з однаковими границями інтегрування дорівнює нулю:

2. При перестановці границь інтегрування знак інтегралу змінюється на протилежний: .

3. Постійний множник можна виносити за знак інтегралу: .

4. Для довільного числа с визначений інтеграл в межах від а до в можна обчислити як суму двох інтегралів в межах від а до с та від с до в: .

5. Визначений інтеграл від алгебраїчної суми функцій дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів цих функцій: .

Інтегрування методом підстановки (заміна змінної).

Зміст методу – введення нової змінної, після чого даний інтеграл перетворюється на один з табличних.

Схема методу для невизначеного інтегралу:

1) частину підінтегральної функції замінити новою змінною;

2) знайти диференціал від обох частин заміни;

3) весь підінтегральний вираз виразити через нову змінну;

4) знайти отриманий табличний інтеграл;

5) зробити обернену заміну.

Приклад №6. Знайти інтеграл

Розв’язання:

Приклад №7. Знайти інтеграл

Розв’язання:

Схема методу для визначеного інтегралу:

1. Частину підінтегральної функції замінити новою змінною;

2. за допомогою заміни обчислити нові границі інтегрування;

3. Знайти диференціал від обох частин заміни;

4. виконати заміну підінтегрального виразу та границь інтегрування;

5. Знайти отриманий табличний інтеграл;

6. за формулою Ньютона-Лейбніца обчислити його.

Приклад №8. Обчислити

Розв’язання:

Приклад №9. Обчислити

Розв’язання:

Інтегрування методом за частинами

Інтегрування за частинами застосовується для інтегрування деяких трансцендентних функцій (наприклад, ) або добутку алгебраїчних та трансцендентних функцій.

Інтегруванням за частинами називається знаходження інтеграла за формулою: ,

де и - частини підінтегральної функції, за беруть або многочлен, або функцію, похідна якої дає раціональну функцію, з беруть частину функції, що залишилась, разом з диференціалом змінної.

Приклад №10. Знайти інтеграл

Розв’язання:

і нтегрування за частинами

Приклад №11. Знайти інтеграл

Розв’язання:

інтегрування за частинами

Приклад №12. Знайти інтеграл

Розв’язання:

інтегрування за частинами

=

= інтегрування за частинами

Приклад №13. Обчислити

Розв’язання:

інтегрування за частинами

= =

Застосування визначеного інтеграла