3. Дифференциальное уравнение сар

Дифференциальное уравнение САР получим из передаточной функции по входным воздействиям САР по принципу суперпозиции: реакция системы на несколько одновременно действующих входных воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие в отдельности.

Рис.8. Структурная схема САР

Выходной сигнал САР можно определить через задающее и возмущающее воздействия следующим образом:

где – задающее воздействие, – возмущающий фактор.

Заменяем :

.

4. Проверка сар на устойчивость

   1. По корням характеристического уравнения системы

Используя программный продукт MatLab, получим значения корней характеристического уравнения системы:

>> W=tf([0.2473],[1 4.043 4.024 1.331 1.2473])

Transfer function:

0.2473

---------------------------------------------

s^4 + 4.043 s^3 + 4.024 s^2 + 1.331 s + 1.247

>> pole(W)

ans =

-2.6440

-1.4065

0.0037 + 0.5791i

0.0037 - 0.5791i

Для того чтобы линейная система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения были левыми. В нашем случае корни S_2,3 являются правыми, следовательно, система неустойчива. 

2. По критерию устойчивости Михайлова

Для того, чтобы проверить САР на устойчивость критерием Михайлова, необходимо построить годограф Михайлова:

.

Перейдем в частотный диапазон, заменив , выделим вещественную и мнимую составляющие, получим уравнение кривой Михайлова:

.

Теперь представим D(jω) в виде:

,

где U(ω) и V(ω) - вещественная и мнимая функции Михайлова соответственно.

Построим годограф Михайлова, используя MatLab:

>> w=0:0.1:1

>> p=1*w.^4-4.024*w.^2+1.247

>> q=-4.043*w.^3+1.331*w

>> plot(p,q)

>> grid

Получили график:

Рис.9. Годограф Михайлова

Для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы кривая (годограф) Михайлова, начинаясь при на вещественной положительной полуоси с ростом частоты от 0 до , обходила последовательно в положительном направлении квадрантов комплексной полуоси, где n-степень – это корень характеристического уравнения.

Вывод: из графика видно, что наш годограф начинается на положительной действительной оси, движется по часовой стрелке, проходя 3 квадранта. Система устойчива.

3. По критерию устойчивости Найквиста

Для того чтобы САУ устойчивая и нейтральная в разомкнутом состоянии, была устойчива в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы годограф АФЧХ разомкнутой системы не охватывал точку М(-1; j0) на комплексной плоскости при изменении частоты от 0 до ∞ и повороте вектора АФЧХ по часовой стрелке.

Замкнутая САУ устойчива, если ее АФЧХ пересекает ось частот правее места пересечения ее ЛАЧХ разомкнутой системы.

Итак, воспользуемся характеристическим уравнением разомкнутой системы:

Численный расчет произведем в MatLab:

>> num=[0.2473]

>> den=[1 4.043 4.024 1.331 1.2473]

>> w=1:0.1:30

>> APK=freqs(num,den,w)

>> u=real(APK)

>> v=imag(APK);t=0:pi/100:2*pi;

>> x=sin(t)

>> y=cos(t)

>> plot(u,v,x,y)

>> grid

Получили следующий график:

Рис.10. Годограф Найквиста

Вывод: годограф кривой Найквиста, согласно рис.10, не охватывает точку с координатой (-1; j0), значит, система устойчива.