Случайные величины

Определение:

Величина, которая в зависимости от случая может принимать различные числовые значения, называется случайной. Данная величина характеризуется значениями, которые она может принимать, и вероятностями, с которыми эти значения принимаются.

Дискретные случайные величины.

Определение:

Случайная величина, которая принимает значения х₁, х₂, …, х_n, … соответственно с вероятностями р(х₁), р(х₂), … , р(х_n), … называется дискретной (прерывной).

Пусть Х – случайная величина и х – произвольное действительное число. Тогда вероятность того, что Х примет значение меньшее, чем х , называется функцией распределения вероятностей данной случайной величины Х.

Х	0	1	2	…	n
Р(х)	qn	qn-1	qn-2	…	q0

p – вероятность наступления события в отдельном испытании

q = 1 – p.

n – число испытаний,

k– число благоприятных исходов (k = от 0 до n),

Х – случайная величина,т.е. k

Р(х) – функция распределения вероятностей данной случайной величины Х

Задача № 7.

Стрелок производит 3 выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,4. Построить функцию распределения вероятности попадания в мишень.

Решение:

Пусть событие А – это удачный выстрел, тогда

p = P(A) =0,4, q = 1 − 0,4 = 0,6,

n = 3,

k =0; 1; 2; 3

Р(х) вычисляем по формуле Бернулли:

Х	0	1	2	3
Р(х)	0,216	0,432	0,288	0,064

Математическое ожидание

Определение:

Математическое ожидание – величина равная приближённо среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины (при большом n).

М(Х) =

Дисперсия

Определение:

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания.

Задача №8.

Монета подбрасывается 2 раза.

Построить функцию распределения вероятности выпадения герба. Найти математическое ожидание данной случайной величины и дисперсию данной случайной величины.

Решение:

Пусть событие А – это выпадение герба, тогда

p = P(A) = , q = 1 − = ,

n = 2,

k =0; 1; 2 (герб может выпасть 0 раз, 1раз, 2 раза)

Р(х) вычисляем по формуле Бернулли:

1) k = 0 : 2) k = 1:

3) k = 2:

Х	0	1	2
Р(х)

математическое ожидание данной случайной величины равно:

дисперсия данной случайной величины равна:

D(Х) =1/4(0 – 1)² +1/2(1 – 1)² + 1/4(2 – 1)² = 1/2