Л(6/7)-(19/20) «Вероятность»

Основы теории вероятностей и математической статистики Вероятность.

Определение:

Опыт, эксперимент, наблюдение явления – называются испытаниями.

(Примерами являются: бросание монеты, игрального кубика, извлечение шаров из урны, извлечение одной карты из перетасованной колоды, подсчет числа автомобилей в очереди на бензоколонке в данный момент и т.д.).

Результат, исход испытания называется событие.

(А, В, С…)

Определение:

Два события называются совместимыми (совместными), если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании. (В противном случае называются – несовместными).

Определение:

Два события А и называются противоположными, если в данном испытании, они не совместны и одно из них обязательно происходит. ( происходит тогда и только тогда, когда не происходит А).

Определение:

Событие А называется достоверным, если в данном испытании оно является единственно возможным исходом; и невозможным, если в данном испытании оно заведомо не может произойти.

Определение:

Событие А называется случайным, если в данном испытании оно может произойти, а может и не произойти.

Определение:

Вероятность события – есть мера его возможности.

Классическое определение вероятности:

Если событию А благоприятствует m элементарных исходов из общего числа n исходов, то вероятность события А равна

Из этого следует:

1. Вероятность достоверного события равна 1.

2. Вероятность невозможного события равна 0.

3. Вероятность случайного события:

4. Вероятность А и : Р(А) + Р( ) =1

Задача № 1.

Игральная кость бросается один раз. Найти вероятность следующих событий:

А – появление чётного числа очков;

В – появление не менее 5-ти очков;

С – появление не более 5-ти очков.

Ответ: , ,

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Теорема1

Суммой событий А и В называется событие С, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий. «или»

Теорема2

Произведением событий А и В называется событие С, состоящее в том, что произошли оба события А и В. «и»

Событие, которое нельзя разложить на более простые называется элементарным событием.

Задача № 2.

Пусть А, В и С – три произвольных события. Выразить в виде формулы следующие предложения:

Произошло только событие А.

Произошло одно и только одно событие.

Произошло два и только два события.

Произошли все события.

Произошло, по крайней мере, одно событие.

Произошло не более двух событий.

Ответ:

1) ; 2) 3)

4) АВС 5) А + В + С 6)

Задача № 3.

Взятая наудачу деталь может оказаться либо первого (событие А), либо второго (событие В), либо третьего (событие С) сорта.

Что представляют собой следующие события: А + В, , АС, АВ + С ?

Ответ:

А + В – это деталь 1-го или 2-го сорта;

А + С – деталь 1-го или 3-го сорта, а – деталь2-го сорта;

АС – невозможное событие, т.к. деталь не может быть одновременно и1-го и 3-го сорта;

АВ + С – это сумма невозможного события и события С, значит это деталь3-го сорта.

Задача № 4.

В урне 5 красных, 2 синих и 3 белых шара. Все они пронумерованы числами: 1,2,…,10.

Из урны берётся наудачу 1 шар.

Пусть событие:

А – шар с чётным номером,

В – шар с номером, кратным 3-м,

С – шар красного цвета,

D – шар синего цвета,

Е – шар белого цвета.

Что собой представляют следующие события: А + В, С +Е, АD, А–В, , ?

Ответ:

А + В – шар с одним из номеров: 2, 4, 6, 8, 10, 9 ,3 ( но не с № 1,5,7).

С +Е – шар красного или белого цвета.

АD – шар синего цвета с чётным номером.

А–В (т.е. ) – шар с одним из номеров: 2, 4, 8, 10 (с чётным номером, но не 6).

– шар красного или синего цвета с номером, кратным 3-м

– шар красного цвета с нечётным номером.

Задача № 5.

Вероятность сдачи первого экзамена – 0,9,

второго экзамена – 0,8,

третьего экзамена – 0,7.

Найти вероятность сдачи:

А – одного экзамена;

В – двух экзаменов;

С – трёх экзаменов;

D – хотя бы одного (или один, или два, или три).

Решение:

Вероятность несдачи 1-го экзамена – 0,1,

2-го экзамена – 0,2,

3-го экзамена – 0,3,

тогда:

Р(А) = 0,9·0,2·0,3 + 0,1·0,8·0,3 + 0,1·0,2·0,7 = 0,54 + 0,024 + 0,014 = 0,092

Р(В) = 0,9·0,8·0,3 + 0,9·0,2·0,7 + 0,1·0,8·0,7 = 0,398

Р(С) = 0,9·0,8·0,7 = 0,504

Р(D) = Р(А) + Р(В) + Р(С) = 0,092 + 0,398 + 0,504 = 0,994