Площадь криволинейной трапеции
Фигура,
ограниченная функцией
прямыми х =
а , х
= b
и осью Ох называется криволинейной
трапецией.
Разобьем
отрезок
на n
частей точками
.
При
этом криволинейная трапеция разобьется
на
элементарных криволинейных трапеций.
Заменим каждую такую криволинейную
трапецию прямоугольником с основанием
,
где
и высотой
,
где
-произвольно
выбранная внутри отрезка
точка.
Площадь
прямоугольника будет равна
,
а площадь всей криволинейной фигуры
приблизительно будет равна сумме
площадей всех прямоугольников:
.
Выражение
,
где
,
называется интегральной суммой функции
на отрезке
.
Если
существует конечный
, не зависящий ни от способа разбиения
отрезка
на
части, ни от выбора точек
, то этот предел называется определенным
интегралом функции
на отрезке
и обозначается
.
С
геометрической точки зрения при
равен
площади криволинейной трапеции
Число a называется нижним пределом интегрирования, а число b верхним пределом интегрирования.
Вид криволинейной трапеции:
Рассмотрим фигуру, ограниченную графиком непрерывной, неотрицательной на промежутке [a;b] функции f(x), отрезком [a;b] оси X, и прямыми x = a; x = b. Такую фигуру называют криволинейной трапецией. На рисунке 2 криволинейная трапеция выделена штриховкой. Площадь S этой трапеции определяется формулой
I
.
.
II.
III.
I
V.
Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=x2 – 2x+2 и y=2+6x – x2.
Решение.
1) Выполняем чертеж;
2) Найдем пределы интегрирования:
x2–2x+2=2+6x–x2, откуда х=0 – нижний предел интегрирования
и х=4 – верхний предел интегрирования (ВПИ);
3) Составим подынтегральную функцию:
f(x)=2+6x–x2 – (x2–2x+2)=8x–2x2;
(кв.ед.)
Пример 2
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
и
Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=x+3, y= x– и y= –2x+9.
Решение.
1) Выполняем чертеж
Для дальнейшего решения необходимо разбить полученную фигуру на две части: DABD и DBCD.
2) Найдем пределы интегрирования: а) x+3= –2x+9 Þ x=2;
б) x+3= x– Þ x=−5; в) −2x+9= x− Þ x=4.
(кв.ед.)
(кв.ед.)
Значит, Sфигуры=SDABD+SDBCD=21 (кв.ед.)
П
ример
4.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной
графиками функции y=2x2–8х
и двумя касательными к данному графику,
проходящими через точку (2; –10)
Решение.
1) Выполняем чертеж;
Найдем абсциссы точек касания, используя формулу касательной к графику функции y=f(x) в точке х0: y=f'(x0)(x−x0)+f(x0).
y'=4x−8, −10=(4x0−8)(2−x0)+2x0−8x0 ,откуда х0=1 или 3. Построим касательные.
Для дальнейшего рационального решения достаточно вывести уравнение только одной касательной, например, АВ: y=−4(х −1)−6, т.е. y=−4х−2. Тогда, при пределах интегрирования х=1 и х=2, площадь половины фигуры равна:
(кв.ед.)
(кв.ед.)
Значит, площадь всей фигуры равна:
Упражнения для самопроверки
№ 1. Найти неопределённые интегралы:
1.
2.
3. 4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
№ 2. Проинтегрировать по частям:
1.
2.
3. 4.
№ 3. Найти определённый интеграл:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Упражнения для самопроверки
7.
8.
9.
10.
№ 4. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций:
1) 2) 3) 4)
5) 6) 7) 8)
