Коефіцієнт теплопровідності окремих речовин

Таблиця 1

№	Назва речовини	Температура, 0С	Коефіцієнт теплопровідності Вт/м К
	Метали
1.	Срібло	0...600	410...366
2.	Мідь	0...1000	393...320
3.	Алюміній	0...600	207...280
4.	Залізо	0...1100	80...40
5.	Бронза (95 Cu,5 Mn)	0...400	94,2...127
6.	Латунь(96 Cu, 4 Zn)	0...500	244...259
7.	Залізовуглецеві сталі	0...1100	59,2...28,8
8.	Леговані сталі	0..1100	39(40)..30(28)
	Рідини
9.	Вода	0...100	0,15...0,29
10.	Бензин	-50...+200	0,131...0,08
11.	Дизельне пальне	20..100	0,117...0,108
12.	Олива (МС-20)	0...150	0,136...0,120
13.	Спирт етиловий (94% по масі)	0...75	0,179...0,160
	Гази (при р=1 бар)
14.	Повітря	0...1000	0,02..0,08
15.	Продукти згоряння вуглеводневого палива	0...1000	0,023...0,11
16.	Метан	0...400	0,030...0,093
	Інші матеріали
17.	Грунт (вологість 8,6%)	25	0,73
18.	Деревина (вологість 8%) Вздовж волокон Поперек волокон	25	0,345...0,43 0,14...0,16
19.	ДСП	20	0,077..0,093
20.	Залізобетон	20	1,5
21.	Цегляна кладка	0	0,81
22.	Лід	0	2,2
23.	Сніг	-	0,105..0,64
24.	Скло звичайне	0	0,74
25.	Сукно, шовк	20	0,05
26.	Штукатурка (цементна)	20	0,23..1,2
27.	Папір	20	0,14
28.	Вата	20	0,042
29.	Пісок річковий ( вологість 6%)	20	0,8
30.	Скловата	20	0,02
31.	Азбестовий картон	20	0,175

Найбільшу теплопровідність мають метали, найнижчу – гази (табл.1). Речовини, які мають відносно малий коефіцієнт теплопровідності (зазвичай λ<0,2 Вт/м ∙К) в теплотехніці отримали назву теплоізолюючих матеріалів. В загальному випадку слід враховувати, що λ залежить також від температури матеріалу, а для газів також від тиску.

Знак мінус у рівнянні (3) обумовлений різноспрямованістю векторів теплового потоку та градіента температур

Диференціальне рівняння теплопровідності

Процеси теплообміну, у тому числі теплопровідність, часто мають виражений нестаціонарний характер. Нестаціонарні процеси описують­ся математичними рівняннями в диференціальній формі, що характери­зують протікання явища в часі і просторі.

Виділимо в тілі довільний об'єм dV(рис.3.2).

Рис.3.2 До виводу рівняння теплопровідності.

Відповідно до теплового балансу об’єму кількість тепла на його нагрів дорівнює кількості теплоти, що потрапила по напрямкам x, y, z:

δQ= δQ_x+ δQ_y+ δQ_z. (3.4)

Визначимо кількість теплоти , що потрапляє за напрямком х, при цьому використовувати закон Фурье.

.

Після перетворень отримаємо

. (3.5)

Аналогічні вирази отримують за напрямками у та z. З іншого боку кількість теплоти отриманої об’ємом dV визначиться через зміну його температури dt

δQ= c_p·ρ·dt·dx·dy·dz. (3.6)

Таким чином отримуємо рівняння

.

Після перетворень отримаємо диференціальне рівняння теплопровідності в декартових координатах

, (3.7)

де — коефіцієнт температуропровідності, м²/с.

Коефіцієнт температуропровідності є фізичним параметром речовини і характеризує швидкість зміни температури. У будь-якого тіла швидкість зміни температури буде тим більшою, чим більше значення коефіцієнта температуропровідності.

У циліндричних координатах рівняння (3.7) записується так:

(3.8)

де r — радіус-вектор циліндричної системи координат; φ — кут; у,z — природні координати.

Крайові умови

Диференціальне рівняння теплопровідності описує даний процес у самому загальному вигляді і тому може мати нескінченну безліч частинних розв'язків. Для того щоб з незліченної кількості частинних розв'язків виділити той, що описує конкретний процес до диференціального рівняння, необхідно додати додаткові умови, тобто умови однозначності. Вони містять у собі:

геометричні умови, що характеризують розміри і форму середовища, у якому протікає процес теплопровідності;

фізичні умови, що характеризують фізичні властивості тіла (λ і а), а також інформацію про внутрішні джерела теплоти (якщо вони є);

початкові умови, що визначають умови теплової взаємодії тіла з нав­колишнім середовищем в початковий момент часу протікання процесу;

граничні умови, що визначають умови теплової взаємодії тіла з нав­колишнім середовищем.

Сукупність початкових і граничних умов називають крайовими умо­вами задачі. Для стаціонарних задач теплопровідності у формулюванні початкових умов немає необхідності.

У теорії теплопровідності розрізняють такі види граничних умов.

1) Гранична умова першого роду. На межі тіла задана його температура

t_гр=f(τ). (3.9)

2) Граничні умови другого роду. Заданий потік тепла на границі. Відповідна умова виражається співвідношенням:

. (3.10)

3) Граничні умови третього роду. Потік тепла на границі тіла задається законом Ньютона-Ріхмана із відомим коефіцієнтом тепловіддачі () та заданою температурою середовища t_f, що омиває тіло

. (3.11)

Стаціонарна теплопровідність плоскої та циліндричних стінок

Найпростішою і розповсюдженою задачею є визначення щільності теплового потоку в умовах стаціонарного (усталеного) режиму тепло­провідності. У цьому випадку і диференціальне рівняння теплопровідності приймає вид:

(3.12)

або

(3.13)

Приведемо метод розв'язання деяких задач теплопровідності, що найбільш часто зустрічаються на практиці.

Плоска стінка. Розглянемо однорідну і ізотропну стінку товщиною _δ з постійною теплопровідністю _λ. На зовнішніх поверхнях стінки підтримуються постійні температури відповідно t_c1 і t_c2 де t_c1 > t_c2.

При заданих умовах температура змінюється тільки в одному напрямку — по товщині стінки. Розмістимо стінку в координатах t, х (рис.3.3).

Рис.3.3. Стаціонарний розподіл температури по товщині плоскої стінки

Для даної задачі диференціальне рівняння теплопровідності запи­сується так:

Граничні умови формулюються таким чином:

при t(x=0)=t_c1

при t(x=δ)=t_c2 (3.14)

Інтегруванням рівняння 13

t= C₁x+C₂. (3.15)

З рівняння (3.15) випливає, що при постійному коефіцієнті тепло­провідності температура в стінці змінюється за лінійним законом (рис.3.3).

З граничних умов (3.14) визначаються постійні інтегрування С₁ і С₂:

при x=0, t=t_c1 звідки C₂= t_c1;

при x=δ, t=t_c2 звідки

Тоді загальний розв'язок (3.15):

. (3.16)

Градієнт температур по товщині стінки буде сталим

. (3.17)

Визначимо тепловий потік , відповідно до закону Фурье

. (3.18)

_{З рівняння (}18) можна зробити висновок, що питомий тепловий потік, який проходить за одиницю часу, прямо пропорційний теплопровідності λ і різниці температур на зовнішніх поверхнях стінки і обернено пропорційний товщині стінки δ_.

(3.19)

Відношення (м²∙К)/Вт називають термічним опором теплопро­відності стінки.

Користуючись поняттям термічного опору, формулу розрахунку щіль­ності теплового потоку можна представити у вигляді:

, (3.20)

де — термічний опір, м∙К/Вт.

Загальна кількість теплоти Q, що передається через стінку площею F за одиницю часу, дорівнює, Вт:

(3.21)

Багатошарова стінка. Формулою (3.21) можна користуватися і для розрахунку теплового потоку через стінку, що складається з декількох плоских щільно прилягаючих один до одного різнорідних матеріалів.

При заданих товщині і теплопровідності кожного шару, а також значенні температур зовнішніх поверхонь кожного шару (рис.3.4) можна записати систему рівнянь для потоку через кожний шар. Після розв’язку системи отримуємо

.

Рис.3.4. Розподіл температури по товщині багатошарової стінки(λ₁> λ₂> λ₃)/

З іншого боку оскільки тепловий потік, який проходить через стінку, однаковий в усіх її шарах і послідовно долає термічні опори кожного шару, то по аналогії з послідовним з’єднанням електричних опорів отримуємо

Вт/м² (3.22)

Сума опоров R₁+R₂+…=R_ст – сумарний термічний опір стінки.

У межах кожного шару спостерігається лінійний розподіл температури. Температура на межах між шарами визначиться

t₁=t_c1- q∙R₁;

t₂=t₁- q∙R₂;… . (3.23)

Циліндрична стінка. Дуже часто теплоносії рухаються по трубах циліндричної форми. Розглянемо задачу про поширення теплоти через одношарову однорідну ізотропну стінку при відомих постійних температурах на внутрішній і зовнішній поверхнях. Приймемо для визначеності, що температура на внутрішній поверхні t_c1 , більша температури на зовнішній поверхні t_c2. Температура змінюється тільки уздовж радіуса (по координаті r) і тому в циліндричних координатах це задача одномірна (рис.3.5).

Рис.3.5. Зміна температури по товщині одношарової циліндричної стінки

Для труби довжиною l і радіуса r закон теплопровідності записується в такій формі:

(3.24)

Звідси

При λ=пост. інтегруючи в межах від t_c1 до t_c2, та від r₁ до r₂ одержимо:

(3.25)

або

Вт (3.26)

де d₂, і d₁ — відповідно зовнішній і внутрішній діаметри труби.

З формули (3.25) випливає, що в товщі циліндричної стінки розподіл температури підкоряється логарифмічному законові, а не лінійному, як у плоскій стінці.

На практиці частіше використовують поняття питомої кількості теплоти q_l, яка припадає на один метр довжини циліндричної стінки.

або , Вт/м (3.27)

де - термічний опір циліндричної стінки, м∙К/Вт.

Для визначення теплового потоку теплопровідністю через багато­шарову стінку випливає, як і для багатошарової стінки, враховують термічні опори окремих шарів, тобто

(3.28)

де ;

; …

d₁ – внутрішній діаметр циліндричної стінки,

d₂ – зовнішній діаметр першого шару,

d₃ – зовнішній діаметр другого шару і так дальше.