РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГЕОЛОГОРАЗВЕДОЧНЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра Высшей математики и математического моделирования
Методические указания и задания к контрольным работам студентов
II курса заочного отделения
для ЗРФ
Составители: Ваксман К.Г.
Михайлова А.В.
Москва,
2006 г.
Контрольная работа № 7 для зрф
Тема: «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных и
Кратные интегралы»
Краткие теоретические сведения.
Частные производные первого порядка. Дана функция
.
При нахождении частной производной по одному аргументу второй аргумент считается постоянной величиной
(аргумент у – постоянная величина);
(аргумент х – постоянная величина)
Например: 1)
,
;
2)
,
(используем формулу
).
Частные производные второго порядка находятся как производные от производных первого порядка.
;
;
;
.
2.1. Полным дифференциалом функции
называется главная линейная часть
приращения функции при приращении
аргументов
и
,
отличающаяся от полного приращения
функции на бесконечно малую величину
высшего порядка относительно
и
.
Пусть дана функция
и точка
.
Полным дифференциалом
при приращении
и
будет
.
2.2 Уравнение касательной плоскости к
поверхности
в точке
.
3. Двойной интеграл
3.1
– это двойной интеграл от функции
по области
,
– это элемент площади области.
Геометрический смысл двойного интеграла
при
,
при
в
области
– это объём цилиндрического тела,
ограниченного сверху поверхностью
,
с боков – цилиндрической поверхностью
с образующими, параллельными оси z,
снизу – плоской фигурой
на плоскости
.
3.2 Если
,
то двойной интеграл
численно равен площади S
области
.
3.2.1 Двойной интеграл вычисляется сведением к вычислению двух повторных определённых интегралов.
3.2.2 Вычисление двойного интеграла в
декартовой системе координат
.
а) необходимо построить область интегрирования в плоскости .
б) установить порядок интегрирования.
y
E d
A
С
c В
а
b
x
в) Пусть область
заключена внутри прямоугольника:
,
,
стороны которого касаются границы
области в точках
.
Точками
и
граница области разбивается на две
линии ABC и AEC,
каждая из которых пересекается с любой
прямой, параллельной оси у в одной
точке. Поэтому их уравнения можно
записать так: линия ABC:
;
линия AEC:
.
Аналогично, точками В и Е граница
разбивается на линии ВАЕ:
и ВСЕ:
.
.
Сначала вычисляем «внутренний» (в
)
интеграл по у, считая х постоянной,
а затем вычисляем «внешний» интеграл
от полученной функции по х. Можно
изменить порядок интегрирования:
.
г) Для вычисления площади
или при другом порядке интегрирования
.
3
B
E
C
φ=φ2
A
.2.3
Вычисление площади в полярных координатах
.
Совместим начало декартовой системы
координат с полюсом, а ось ох с
полярной осью. Тогда
,
,
.
П
φ=φ1
0
и
,
которые касаются границы области в
точках А и В, разделяющими границу
на две линии.
и
.
а) Пусть полюс не содержится внутри
области интегрирования
.
б) Пусть полюс находится внутри или на
границе области интегрирования
,
.
Примечание. При вычислении интегралов
полезно воспользоваться формулами
тригонометрии
,
а также
,
,
.
4. Тройной интеграл
4.1.
– это тройной интеграл от функции
по пространственной области
,
– это элементы объема области
.
Физический смысл тройного интеграла 4.1:
при
в области
– это
масса неоднородного тела в области
с плотностью
.
4.2. Если
в области
,
то тройной интеграл численно равен
объему тела
.
.
4.3. Вычисление тройного интеграла в
декартовой системе координат
.
.
4.3.1. Необходимо построить или хотя бы схематически представить пространственную область .
4.3.2. Опишем около
цилиндрическую поверхность с образующей,
параллельной оси
.
Она касается области
вдоль линии
,
которая делит поверхность, ограничивающую
область на 2 части: нижнюю
и верхнюю
.
4.3.3. Этой цилиндрической поверхностью тело спроектируется на плоскость в область D, линия спроектируется на границу области D. Необходимо построить в плоскости область D.
4.3.4. Вычисление тройного интеграла сведем к повторному интегрированию сначала по направлению оси z от до , а затем по области D.
4.3.5. Для вычисления объема тела:
.
4.3.6. Вычисление объема тела в цилиндрической
системе координат
.
Связь между цилиндрической и декартовой
системой координат, если полюс и начало
декартовой системы координат совмещены,
а полярная ось идет по оси ох:
,
.
Элемент объема
;
.