Литература

1. Баврин И.И. Высшая математика. – М.: Просвещение, 1980.

2. Фихтенгольц Г.М. «Основы математического анализа» Часть 1 – М.: Лань, 2002, - 448 с.

3. Натансон И.П. «Теория функций вещественной переменной». – СПб.: Лань, 1999, - 560 с.

Лекция 3. Бесконечно малые и бесконечно большие величины

Ц

17

ель лекции: изучить понятия бесконечно малых и бесконечно больших величин, научиться сравнивать бесконечно малые величины.

План лекции

1. Бесконечно малые величины

2. Второе определение предела

3. Свойства бесконечно малых величин

4. Бесконечно большие величины

5. Сравнение бесконечно малых величин

Введение

Данная лекция посвящена наиболее трудно усваиваемым понятиям: «бесконечно малая и бесконечно большая величина». Дело в том, что структура всего математического анализа построена на подобных понятиях. Ясно, что представить точку с нулевым размером или бесконечную область так же трудно, как представить бесконечную вселенную и абсолютно элементарную частицу. Данные понятия находятся больше в области абстрактного. Каждый находит собственное понимание этого вопроса, однако должны быть незыблемыми основные правила и теоремы, которым подчиняются эти величины. Следует обратить внимание на то, что величина, обратная бесконечно малой величине, есть бесконечно большая величина. Аналог в астрофизике – рождение бесконечной вселенной происходит из точки нулевого размера (большой врыв).

1. Бесконечно малые величины

Определение 1.

Функция называется бесконечно малой функцией, или бесконечно малой величиной, в точке , если

или . (1)

ПРИМЕР 1.

– бесконечно малая величина в точках и .

Замечание!

Понятие «бесконечно малая» величина нельзя смешивать с понятием «очень малая величина», т. к. последняя является константой, а бесконечно малая величина – переменная, промежуточные значения которой могут быть и большими, но ее предел стремится к нулю.

Определение 2.

Определение на языке . Функция – бесконечно малая величина в точке , если .

2 18 . Второе определение предела

Теорема 1.

Для того чтобы b было пределом функции в точке , необходимо и достаточно, чтобы разность между и ее пределом в этой точке была бесконечно малой величиной.

Доказательство. Необходимость.

Дано: . Необходимо доказать, что . Из условия и определения предела следует, что , то есть . Следовательно, – бесконечно малая величина в точке .

Достаточность. Дано: , где – бесконечно малая величина. Необходимо доказать, что . Из того, что – бесконечно малая величина, следует, что , или .

Определение 3.

Второе определение предела. Число b называется пределом функции в точке , если есть бесконечно малая величина .

3. Свойства бесконечно малых величин

3.1. Сумма бесконечно малых величин

Теорема 2.

Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин в точке есть величина бесконечно малая в этой точке, т. е. - бесконечно малая величина в точке , если .

Доказательство.

Докажем, что теорема верна для двух слагаемых: .

Если , то согласно определению . Если , то согласно определению . Для любых можно принять . Для дельта-окрестности = оценим , то есть и – бесконечно малая величина. Для суммы n бесконечно малых величин с учетом предыдущего доказательство сводится к последовательному объединению слагаемых до случая суммы двух бесконечно малых величин.

В

19

ажно!

Если число слагаемых , то получим неопределенность .