5.2. Геометрический смысл производной векторной функции

Пусть векторной функции для приращения аргумента на соответствует приращение на (рис. 3). Очевидно, что вектор . При точка на кривой L п

63

ереходит в точку , т. е. или – касательный вектор. С геометрической точки зрения производная векторной функции есть вектор, касательный к годографу в данной точке.

Т еорема 1.

. (13)

Доказательство.

1. Дадим параметру приращение , тогда функции также получать соответствующие приращения .

2. Запишем соответствующее приращение векторной функции .

3. Тогда предел , откуда .

Следствие!

(14)

5.3. Дифференциал длины дуги

П усть L – годограф непрерывной векторной функции , причем непрерывно дифференцируема, а кривая L – гладкая. Определим длину дуги на кривой L (рис. 4). Очевидно, что длина дуги будет некоторой функцией .

Теорема 2.

(15)

Д

64

оказательство.

Дифференциал . Но . Очевидно, что при справедливо , тогда , откуда справедливо (15).

5.5. Дифференциал длины дуги в различных видах

I. Кривая задана параметрически . По теореме Пифагора , или

. (16)

II. Функционально , где – независимая переменная, тогда , или

. (17)

III. В полярной системе , , или

. (18)

Заключение

Отметим, что:

- дифференциал функции это приращение касательной в точке;

- дифференциал аргумента равен приращению аргумента;

- дифференциал используется в приближенных вычислениях;

- векторная функция это вектор с функциями координат;

- производная векторной функции это касательная к годографу векторной функции;

Литература

1. Баврин И.И. Высшая математика. – М.: Просвещение, 1980. – 384 с.

2. Фихтенгольц Г.М. «Основы математического анализа» Часть 1 – М.: Лань, 2002. - 448 с.

Л 65 екция 10. Основные теоремы дифференцирования

Цель лекции: изучить основные теоремы дифференцирования; научиться использовать их для решения прикладных задач.

План лекции

1. Теорема Ферма

2. Теорема Ролля

3. Теорема Лагранжа

4. Теорема Коши

5. Теорема Лопиталя

6. Общая таблица взятия пределов

Введение

Ранее мы изучили понятия производной и дифференциала, и научились использовать их для решения прикладных задач. Однако решение многих задач можно упростить и найти решение некоторых неразрешенных задач на основе тех теорем, которые мы изучим сегодня. Они особенно важны для решения практических задач. Для усвоения теорем необходимы знания, полученные по темам «Дифференцирование» и «Пределы».

1. Теорема Ферма

1.1. Теорема ферма

Теорема 1 (Ферма).

Если функция непрерывна в окрестности точки , а в самой точке принимает наибольшее или наименьшее значение, то производная в этой точке равна нулю.

Доказательство.

Пусть – наибольшее значение функции , следовательно, для всех или . Тогда . Возможны два варианта.

а) Если , т. е. , и ,

б) Если , т. е. , и .

По условию существует производная функции, тогда односторонние пределы равны между собой. Следовательно, = =0, или . Аналогично доказывается случай – наименьшее значение функции.