- •Часть 2
- •Рецензенты:
- •Математика формализует окружающий мир, превращая наши догадки в открытия, а открытия в повседневную жизнь п 3 редисловие
- •Знать – это установить при помощи доказательства. А. Аристотель Аристотель
- •Раздел I. Теория пределов Лекция 1. Функция действительной переменной
- •План лекции
- •Введение
- •1. Множество действительных чисел и его свойства
- •Определение 1.
- •1. Упорядоченность.
- •2. Плотность.
- •3. Непрерывность.
- •Зададим два множества и , обозначив их элементы и соответственно. Определение 2.
- •2.3. Простейшие классы функций
- •Заключение
- •Литература
- •Л 12 екция 2. Предел функции в точке
- •План лекции
- •Введение
- •1. Определение предела функции в точке
- •1.1. Определение предела
- •1 13 .2. Геометрический смысл предела
- •2. Теорема единственности предела функции в точке
- •3 14 . Односторонние пределы, необходимые и достаточные условия существования предела функции в точке
- •4. Свойства функции, имеющей предел в точке
- •5. Предел функции на бесконечности
- •Заключение
- •Литература
- •Лекция 3. Бесконечно малые и бесконечно большие величины
- •План лекции
- •Введение
- •1. Бесконечно малые величины
- •2 18 . Второе определение предела
- •3. Свойства бесконечно малых величин
- •3.1. Сумма бесконечно малых величин
- •3.2. Произведение бесконечно малой величины в точке на функцию
- •20 4. Бесконечно большие величины
- •Вопрос 5. Сравнение бесконечно малых величин
- •Заключение
- •Литература
- •Лекция 4. Основные теоремы о пределах
- •План лекции
- •Введение
- •1. Основные теоремы о пределах
- •24 2. Предел промежуточной величины
- •3. Первый замечательный предел
- •4 26 .3. Второй замечательный предел
- •Литература
- •29 Лекция 5. Непрерывность функции
- •План лекции
- •Введение
- •1. Непрерывность функции в точке и на интервале
- •1.1. Непрерывность функции
- •1.2. Приращение аргумента и функции
- •2. Точки разрыва функции, их классификация
- •3. Основные теоремы о непрерывных функциях
- •4. Свойства функций непрерывных на отрезке
- •Заключение
- •Литература
- •Р 36 аздел II. Дифференциальное исчисление Лекция 6. Производная функции
- •План лекции
- •1. Задачи, приводящие к понятию производной функции
- •2. Определение производной, ее физический и геометрический смысл
- •3. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции Введение
- •1. Задачи, приводящие к понятию производной функции
- •1.1. Скорость прямолинейного движения
- •1.2 Касательная к кривой
- •2. Определение производной
- •2.1. Физический и геометрический смысл производной
- •2.2. Уравнение касательной и нормали к кривой
- •3 41 . Связь между непрерывностью и дифференцируемостью
- •Л 42 екция 7. Правила дифференцирования функции
- •1. Дифференцирование сложной функции
- •2. Дифференцирование обратной функции
- •3 44 . Дифференцирование суммы, произведения и частного
- •3.1. Дифференцирование суммы
- •3.2. Дифференцирование произведения
- •3.3. Дифференцирование частного
- •4. Логарифмическое дифференцирование
- •П 47 равило логарифмического дифференцирования
- •5. Производные функций, заданных неявно и параметрически
- •5.1. Производная функции, заданной неявно
- •5 48 .2. Производная функции, заданной параметрически
- •6. Производные высших порядков
- •Заключение
- •Литература
- •Л 50 екция 8. Производные элементарных функций
- •План лекции
- •Введение
- •1. Дифференцирование постоянной величины и независимой переменной
- •1.1. Производная постоянной величины
- •1 51 .2. Производная независимой переменной
- •2. Производная степенной функции
- •3. Производная показательной функции
- •4. Производная логарифмической функции
- •Литература
- •Л 57 екция 9. Дифференциал функции
- •План лекции
- •Введение
- •1. Понятие дифференциала и его геометрический смысл
- •1.1. Дифференциал функции
- •1.2. Геометрический смысл дифференциала
- •2. Дифференциал сложной функции
- •3. Дифференциалы высших порядков
- •4. Применение дифференциалов к приближенным вычислениям
- •5. Векторная функция скалярного аргумента и ее дифференциал
- •5.1. Векторная функция, ее непрерывность и производная
- •5.2. Геометрический смысл производной векторной функции
- •Л 65 екция 10. Основные теоремы дифференцирования
- •1. Теорема Ферма
- •1.1. Теорема ферма
- •1 .2. Геометрический смысл теоремы Ферма
- •2. Теорема Роля
- •3. Теорема Лагранжа
- •3.1. Теорема
- •3.2. Геометрический смысл теоремы
- •3.3. Формула конечных приращений
- •4. Теорема Коши
- •5. Теорема Лопиталя
- •Заключение
- •Литература
- •Л 72 екция 11. Общее исследование функций
- •План лекции
- •Введение
- •1. Монотонность функции
- •2 73 . Максимум и минимум функции
- •3. Первое правило исследования функции на экстремум
- •3.1. Первое достаточное условие экстремума
- •3.2. Первое правило исследования функции на экстремум
- •4. Второе правило исследования функции на экстремум
- •4.1. Второе достаточное условие экстремума
- •4.2. Второе правило исследования функции на экстремум
- •5. Выпуклость и вогнутость кривой
- •5.1. Правило исследования функции на выпуклость и вогнутость
- •Литература
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
СТАВРОПОЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
А.А. Смирнов, В.В. Бондарь, М.Э. Солчатов
|
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ,
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ
Часть 2
Ставрополь
2004
Б
Печатается
по решению
редакционно-издательского
совета
Ставропольского
государственного
университета
УДК 514.2, 512.64
С 50
Смирнов А.А., Бондарь В.В., Солчатов М.Э.
С 50 Математика. Часть 2. Теория пределов, дифференциальное исчисление, интегральное исчисление. Лекции по математике. Часть 2: Учебное пособие – Ставрополь: Изд-во СГУ, 2004. – 176 с.
Учебное пособие представляет собой курс лекций, содержащий три раздела: «Теория пределов», «Дифференциальное исчисление», «Интегральное исчисление».
Предназначено для студентов биолого-химического факультета, обучающихся специальностям «биология», «природопользование», «география», «химия» и др.
Рецензенты:
кандидат технических наук, доцент, зав кафедрой высшей математики ФРВИ РВ С.В. Сподынюк,
доктор физ.-мат. наук, профессор А.Я. Симоновский
Рецензенты:
кандидат физ.-мат. наук, доцент А.Н. Макоха
кандидат тех. наук, преподаватель ФРВИ РВ М.Э. Солчатов
© Смирнов А.А., Бондарь В.В., Солчатов М.Э., 2004
© Издательство Ставропольского государственного университета, 2004
Математика формализует окружающий мир, превращая наши догадки в открытия, а открытия в повседневную жизнь п 3 редисловие
Пособие составлено в соответствии с авторской программой по математике и Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования для студентов, обучающихся специальности 011600 – Биология и состоит из трех разделов: «Теория пределов», «Дифференциальное исчисление» и «Интегральное исчисление», являющихся составной частью курса высшей математики.
Необходимость разработки данного пособия обусловлена тем, что литература, предназначенная для изучения математики при обучении биологическим специальностям и рекомендованная министерством образования, имеется в недостаточном количестве. Кроме того, для полного изучения математических разделов в соответствии со стандартом студенту необходимо одновременно пользоваться несколькими учебниками.
В пособие вошли дополнительные разделы высшей математики в применении к прикладным задачам, что позволяет использовать его при самостоятельной контролируемой работе.
В нем содержатся основные понятия, определения, теоремы и наиболее важные задачи, возникающие при решении прикладных вопросов. План каждой лекции позволит студенту представить структуру всего курса высшей математики в биологии и место каждого вопроса в ней. Предлагаемая литература дает возможность более широко познакомиться с различными подходами в изучении математических понятий, определений, теорем и глубже их понять.
Кроме того, излагаются оригинальные взгляды на некоторые вопросы математики, обобщаются многие теоретически сложные вопросы, что позволяет интегрировать аппарат высшей математики в прикладные вопросы различных специальностей. Приведены примеры из многих прикладных областей. Оригинальность некоторых рисунков упрощает восприятие сложных вопросов. Ряд теорем и формул приведены с доказательствами, так как использованные в них приемы можно применять при решении практических задач.