Пример 4 (е.В. Хламов):

P-34. Сколько различных решений имеет система логических уравнений

(x₁  x₂)  (x₂  x₃)  (x₃  x₄) = 1

(x₁  y₁  z₁)  (x₁  y₁  z₁)  (x₁  y₁  z₁) = 1

(x₂  y₂  z₂)  (x₂  y₂  z₂)  (x₂  y₂  z₂) = 1

...

(x₄  y₄  z₄)  (x₄  y₄  z₄)  (x₄  y₄  z₄) = 1

где x₁, …, x₄, y₁, …, y₄, z₁, …, z₄, – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.

Решение:

1. Перепишем систему уравнений в более понятном виде:

2. сначала решим первое уравнение, а затем посмотрим, как будет изменяться количество решений при добавлении переменных y_i и z_i и учёте остальных однотипных уравнений

3. в первом уравнении каждая скобка должна быть равна 1, поэтому в цепочке битов X = x₁ x₂ x₃ запрещена комбинация 10; это значит, что после первой встретившейся единицы могут следовать только единицы, и любая цепочка-решение имеет структуру «все нули, потом – все единицы»

4. таких решений для первого уравнения – 5 штук:

0000, 0001, 0011, 0111 и 1111

5. теперь рассмотрим остальные уравнения, имеющие (для i=1, …, 4) одинаковую структуру

6. пусть в этом уравнении x_i = 0, тогда получаем

этому уравнению соответствуют две допустимых пары , а при двух оставшихся вариантах одна из скобок обращается в 0

7. при x_i = 1 получаем

этому уравнению соответствуют три допустимых пары , а при двух оставшихся вариантах одна из скобок обращается в 0

8. объединяя результаты пп. 6 и 7, получаем, что каждый нуль в решении X первого уравнения удваивает количество решений системы, а каждая единица – утраивает

9. таким образом первое решение X = 0000 даёт 16 = 2⁴ решений системы, решение 0001 даёт 2³ ∙ 3 = 24 решений системы, решение 0011 даёт 2² ∙ 3² = 36 решений системы, решение 0111 даёт 2 ∙ 3³ = 54 решений и решение 1111 даёт 3⁴ = 81 решений системы;

10. всего решений системы 16 + 24 + 36 + 54 + 81 = 211

11. Ответ: 211.

Пример 5:

P-32. Сколько различных решений имеет система логических уравнений

(x₁  y₁)  (x₂  y₂)

(x₂  y₂)  (x₃  y₃)

...

(x₅  y₅)  (x₆  y₆)

где x₁, …, x₆, y₁, …, y₆, – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.

Решение (метод битовых цепочек):

1. перепишем уравнения в более понятном виде:

2. заметим, что по закону де Моргана и выполним замену переменных

3. получаем систему

которая может быть записана в виде

и сворачивается в одно уравнение

4. это уравнение накладывает такое ограничение на битовую цепочку : соседние биты различны, что дает всего дав решения: и

5. теперь нужно перейти к исходным переменным, и

6. если , то имеем всего один вариант исходных переменных: , то есть единица в решении Z не увеличивает количество решений в исходных переменных

7. если , то имеем три варианта исходных переменных: , то есть каждый ноль в решении Z утраивает количество решений в исходных переменных

8. поскольку в каждом решении 3 нуля, каждое из двух решений Z даёт 3³ = 27 решений в исходных переменных; таким образом, всего решений 2 · 27 = 54

9. Ответ: 54.