Тема 4

Таблиці дожиття і середньої очікуваної тривалості життя

Методичні вказівки

Смертність як статистичний процес підлягає не лише статистичному аналізу, а й моделюванню. Імовірнісними моделями смертності є таблиці дожиття та середньої очікуваної тривалості життя, які використовуються для перспективних розрахунків чисельності та складу населення. Побудова таблиць дожиття здійснюється за даними поточного обліку та переписів населення.

Таблиці дожиття складаються двома методами: реального та умовного покоління. Частіше використовується метод умовного покоління, що ґрунтується на імовірностях дожиття та вимирання одночасно існуючих різних поколінь. Будують таблиці для населення в цілому (в розрізі видів поселення) та окремо для кожної статі.

Таблиця дожиття складається з восьми показників і має такий макет:

x	lx	qx	px	dx	Lx	Tx
0
1
...
100

1) x — вік населення від 0 до 100 років;

2. l_x — число осіб, які доживають до віку x (умовне число людей, які перебувають у вихідному демографічному стані). Для групи новонароджених такою відправною сукупністю є l₀ = 100 000 осіб, де кількість нулів забезпечує відповідний рівень точності розрахунку подальших показників таблиці;

3. q_x — імовірність померти в інтервалі віку від x до x + 1 (характеризує теоретичну інтенсивність вимирання табличного населення й розраховується на основі фактичних вікових коефіцієн­тів смертності);

4. p_x — імовірність дожити від віку x до x + 1, розраховується на основі q_x :

p_x = 1 – q_x , або p_x = l_{x + 1} : l_x .

5) d_x — число осіб, які помирають в інтервалі віку від x до x + 1. Для кожної вікової групи d_x розраховується за формулами:

d_x = q_x · l_x або d_x = l_x – l_{x + 1}.

6) L_x — число осіб, які живуть в інтервалі віку від x до x + 1. Це середня чисельність теоретичного населення в кожній x-віко­вій групі і розраховується як середня арифметична проста:

Ця формула застосовується тільки за умов рівномірного розподілу числа тих, хто доживає до віку x + і. У вікових групах із нерівномірним розподілом здійснюється поправка на кривизну розподілу. Це стосується молодших груп, дітей віком до 5 років і старших, осіб віком від 70 років.

7) T_x — «життєвий потенціал покоління», тобто число людино-років життя, що їх може прожити покоління населення в інтервалі віку від x до x + 1. Кожне наступне T_x буде менше від поперед­нього на число тих, хто живе в попередній віковій групі, тому T_x + 1 дорівнює:

T_{x + 1} = T_x – L_x,

і зокрема для однорічних дітей

T₁ = T₀ – L₀,

де .

Підсумковий, восьмий показник таблиці дожиття — середня очікувана тривалість життя — характеризує середнє число років, що їх може прожити покоління людей x-віку. Розраховується за формулою:

або за середньою арифметичною зваженою віку померлих із таблиці дожиття.

Найчастіше використовується початкове значення для групи новонароджених:

Тобто — середня очікувана тривалість життя при наро- дженні і характеризує потенційне число років, що їх може прожи­ти покоління народжених за умов збереження існуючої інтенсивності вимирання.

Середня очікувана тривалість життя розраховується і в інших x-вікових групах. Зокрема, використовується для визначення загальної тривалості життя , що складається з числа вже прожитих x-років та середньої тривалості життя, що її залишилося прожити особам x-віку:

Загальну тривалість життя можна визначити для будь-якого віку, але здебільшого її розраховують для певних вікових меж, наприклад, для осіб, що вступають у репродуктивний вік (15 років) або у пенсійний вік (60 років).

За даними про здійснюється:

1. порівняльний аналіз у розрізі статі для визначення впливу відмінностей в умовах життя чоловіків та жінок;

2. структурний аналіз у розрізі вікових груп у межах кожної статі;

3. оцінка асиметрії та кривизни розподілу числа тих, хто доживає до x-віку;

4. порівняльний аналіз у розрізі регіонів для оцінки життєвого рівня населення країн, областей;

5. аналіз динаміки для визначення стадії демографічного переходу або характеру режиму відтворення.

Таблиця дожиття, так само як і таблиця фактичних даних про число померлих, використовується для обчислення показників інтенсивності, тобто табличних коефіцієнтів смертності.

Табличний коефіцієнт смертності розраховується за формулою:

Оскільки значення наближено до m_x реального населення, то саме табличний коефіцієнт смертності використовується для розрахунку імовірності вмерти q_x.. Перехід від до q_x здійснюється двома способами, залежно від характеру зменшення середньої очікуваної тривалості життя покоління, його просування від 0 до 100 років.

Перший спосіб, якщо зменшується в арифметичній прогресії:

Другий спосіб, якщо зменшується в геометричній прогресії:

де e = 2,71826.

За даними таблиці дожиття розраховується також табличний коефіцієнт дожиття за формулою:

що характеризує інтенсивність дожиття табличного населення й використовується для перспективних розрахунків чисельності й складу населення.

Для побудови таблиць дожиття, зокрема для розрахунку визначального її показника q_x, потрібно знати l_x або L_x, якщо імовір­ність умерти розраховується через табличний коефіцієнт дожиття .

Отримати дані про l_x шляхом поточного обліку неможливо, оскільки для цього треба мати відомості про число демографічних подій (число смертей), що відбулись із поколінням людей в інтервалі певного х-віку протягом календарного року. Поєднання основних параметрів покоління: чисельності людей, їхнього віку і року народження, демографічних подій і календарного часу, протягом яких ці події відбувались та спостерігались, здійснюється графічним методом, а саме за допомогою демографічної сітки.

Демографічна сітка — це графічне зображення демографічного процесу (смертності, народжуваності, шлюбності або розлучуваності), що відбувався з певним поколінням людей (реальним чи умовним) за певний історичний час і період спостереження. Найточніші дані про параметри населення одержують під час перепису населення, тому демографічні сітки складаються за роки, прилеглі до останнього перепису.

Демографічна сітка має вигляд прямокутникової системи координат, що утворюється перетином горизонтальних, вертикальних і діагональних ліній (ліній віку, ліній календарного часу і ліній життя).

Існує кілька видів демографічної сітки. Найчастіше використовуються сітки Лексіса і Пресса. Принципи побудови обох сіток ідентичні. Проте є відмінності в розташуванні ліній життя і ліній календарного часу на координатній площині. Сітка Пресса має природніший, поступальний напрям лінії життя, зліва направо у вертикальному напрямі. Тому вона набула більшої популярності і за сучасних умов широко використовується в міжнародній демографічній статистиці. У подальшому розглядатиметься порядок побудови сітки Пресса, макет якої подано на рис. 1.

Рис. 1. Макет демографічної сітки

На вертикальній осі відкладається вік населення х = 0,1,2...100 років, на горизонтальній осі — календарний час t. Через значення х і t проходять паралельні горизонтальні і вертикальні лінії. Горизонтальні лінії — лінії віку, вертикальні — лінії моментів календар­ного часу, наприклад, t — 1.01.2002 року, t _–1 — 1.01.2001 року. Рік перепису населення (2002 р.) виокремлюють жирною лінією.

Через прямокутники проходять діагоналі — лінії життя, що починаються на осі календарного часу й виходять із точок, які знаменують початок вступу людей у певний демографічний стан (народження немовлят, вступу до шлюбу тощо) і закінчуються в точці виходу з цього стану (смерть, розривання шлюбу тощо).

Перетином трьох ліній утворюються елементарні сукупності трикутників. На основі трикутників зазначаються чисельності тих, хто живе першого роду (l_x), тобто число осіб, які доживають до х-віку. На рис. 2 l_x — це число новонароджених у 2001 р., а l_x + 1 — число дітей, які дожили до віку 1 рік у 2002 р. з числа народжених у 2001 р.

Сукупності l_x одержують тільки шляхом розрахунків за даними демографічної сітки.

Рис. 2. Фрагмент сітки з сукупностями першого роду

На висоті трикутників подається чисельність тих, хто живе другого роду (L_x), тобто число осіб, що живуть в інтервалі віку від х до х + 1. Інакше L_x — це кількість людей, що дожила до певного моменту спостереження, наприклад, на рис. 3 на момент перепису населення (2002 р.), або L_{x + 1} до початку наступного за переписом календарного року (1.01.2003 р.).

Сукупності L_x визначаються (реєструються) під час перепису населення. У роках, що передують перепису L_{x – і} та наступних за переписом L_{x + і} розраховуються за демографічною сіткою.

У середині трикутників зазначається кількість демографічних подій (кількість смертей М_х серед людей х-віку). Залежно від розташування трикутників стосовно гіпотенузи розрізняють верхні елементарні сукупності (над гіпотенузою) і нижні елементарні сукупності . Сукупності демографічних подій, зареєстрованих у роки до перепису, позначаються знаком «–», а в роки після перепису — відповідно «+». На рис. 2 показано — це число померлих немовлят у 2001 р., тобто за рік до перепису, з числа народжених у тому ж 2001 р., а — число померлих немовлят у році перепису (2002 р.) із числа народжених у 2001 р.; — число померлих немовлят у 2002 р. із числа народжених у 2002 р.

Рис. 3. Фрагмент сітки з сукупностями другого роду

Між двома паралельними лініями (вертикальними, горизонталь­ними або діагональними) утворюються смуги, що об’єднують сукупність демографічних подій (смертей), які відбулись із певним поколінням людей (див. рис. 1).

Вертикальна смуга — це сукупність подій (смертей), що відбулись із поколінням сучасників, тобто умовним поколінням людей за період між двома моментами спостереження, наприклад, між 1.01.2002 р. і 1.01.2003 р.

Діагональна смуга — це сукупність подій (смертей), що відбулись із поколінням ровесників, тобто реальним поколінням протягом їхнього життя, наприклад, для всіх, хто народився за 3 роки до перепису, тобто у 1999 р.

Горизонтальна смуга об’єднує події (смерті), що відбулись із однолітками. Наприклад, для всіх, хто живе у віковому інтервалі від 2-х до 3-х років із числа народжених у різні роки.

З елементарних сукупностей трикутників утворюються три сукупності подій (померлих), а саме: сукупність померлих першого, другого і третього роду:

Сукупність померлих	Графічна конфігурація сукупності	Кількість об’єднаних параметрів
		Вікових груп	Років народження	Календарних років спостереження
Першого роду	Горизонтальний паралелограм	1	1	2
Другого роду	Вертикальний паралелограм	2	1	1
Третього роду	Прямокутник	1	2	1

Рис. 4. Фрагмент сітки з сукупністю померлих 1-го роду

Сукупність померлих першого роду використовується для розрахунку числа тих, хто живе першого роду для віку х + 1, а саме:

.

Сукупність померлих другого роду використовується для розрахунку числа тих, хто живе другого роду за роки, прилеглі до перепису населення L_{x + 1} та L_{x – 1}.

Рис. 5. Фрагмент сітки з сукупністю померлих 2-го роду

У році після перепису а в році, що передує перепису,

Сукупність померлих третього роду використовується для розрахунку табличного коефіцієнта смертності.

Рис. 6. Фрагмент сітки з сукупністю померлих 3-го роду

Залежно від показника, що береться як вихідний, використовуються різні сукупності померлих і різні методи побудови таблиці дожиття: прямий і побічний.

Прямий метод складання таблиці дожиття використовує безпосередньо показник q_x. Для його розрахунку за формулою q_x = d_x : l_x треба мати дані про числа тих, хто живе першого роду і число померлих у віці х-років.

Розглянемо алгоритм розрахунку q₁ за 2 роки навколо перепису населення 2002 р. Дворічний період охоплюється горизонтальним паралелограмом, що на рис. 7 виділено світлим пунктиром.

Рис. 7. Фрагмент сітки з сукупностями померлих першого роду

Тоді імовірність померти для однорічних дітей обчислюватиметься:

.

Для розрахунку q₁ за 4 роки навколо перепису (2000 р., 2001 р., 2002 р., 2003 р.) використовується сукупність, що охоплюється трьома горизонтальними паралелограмами (рис. 7) і виділена жирною лінією.

Тоді

Число померлих однорічних дітей

Прямий метод має певний недолік, а саме: з розрахунку випадає частина померлих за половину першого (2000 р.) і останнього (2003 р.) календарних років. Цієї вади позбавлений побічний метод побудови таблиці дожиття, тобто з вихідним показником .

Побічний метод передбачає такі етапи:

• розрахунок фактичних вікових коефіцієнтів смертності m_x;

• визначення табличних вікових коефіцієнтів смертності шляхом вирівнювання фактичних m_x;

• розрахунок q_x виходячи з за відповідною формулою переходу.

Для розрахунку використовуються сукупності померлих третього роду, які на рис. 8 обмежені прямокутниками: пунктиром за — 2-річний період навколо перепису і жирною лінією — за 4-річний період. Зокрема, для обчислення за 2-річний період навколо перепису у знаменнику береться подвійна середньорічна чисельність населення:

,

де — середня хронологічна з моментних показників L_x.

Рис. 8. Фрагмент сітки з сукупностями померлих третього роду