
Тема к зачёту
.doc
Двойственным
образом получаем, что функция h(x)
= inf{f(х)
| fX}
является инфимумом для
Х :
h
= inf
X.
Ч.т.д.
Утверждение 10. Если А - ч.у.м. и В является полной решеткой, то Fun*(A,B) также является полной решеткой.
Доказательство.
Пусть Х
– произвольное
множество
монотонных функций, ХFun*(A,B).
Как подмножество решетки Fun(A,B),
множество Х
имеет
супремум и инфимум. В утверждении 7 мы
определили супремум как функцию g(x)
= sup{f
(x)
|
f
X}.
Функция f
на
самом деле является монотонной:
xy
(
f
X)
f
(x)
f
(y)
sup{f
(x)
| f
X}
sup{
f
(y)
| f
X}
g(x)
g(y)
.
Ч.т.д.
Утверждение
11. Если
В
–
-полное
(
-полное)
ч.у.м. и А
- произвольное
множество, то Fun(A,B)
является
-полным
(соответственно,
-полным)
ч.у.м. То же самое справедливо и для
множества монотонных функций Fun*(A,B).
Доказательство.
Пусть Х
={fn
| n
=
0,1,2,…}
– произвольная
неубывающая цепь. Тогда для любого xА
в ч.у.м.
В имеем
неубывающую цепь {fn
(х)
| n=0,1,2,…},
которая в силу
-полноты
В
имеет
супремум sup{fn
(х)
| n=0,1,2,…}=
g(x).
Таким образом, имеем функцию g:
A
A,
которая является супремумом цепи
Х ={fn
| n=0,1,2,…}.
В
самом деле,
g
fn
для всех n
и
(n)
fn
h
(
n)(
х)
fn(x)
h(х)
(
x)(
n)
fn(x)
h(х)
(
x)
sup{fn(x)
| n
=0,1,2,…}
h(х)
(
x)
g(x)
h(х)
g
h.
Часть
утверждения 11, касающаяся
-полноты,
следует из соображений двойственности.
Ч.т.д.
Утверждение
12. Если
В
–
-полное
(
-полное)
ч.у.м. и А
- произвольное
ч.у.м., то множество Fun*(A,B)
всех монотонных функций является
-полным
(соответственно,
-полным)
ч.у.м.
Доказательство. В доказательстве предыдущего утверждения функция g на самом деле монотонна, если fn – монотонные функции. В самом деле,
x
y
fn
(x)
fn
(y)
для
всех
n
N
fn
(x)
sup{
fk
(y)
| k
N}
для
всех
n
N
sup{
fk
(x)
|
k
N}
sup{
fk
(y)
| k
N}
g(x)
g(y).
Ч.т.д.