3. Операції над відношеннями

Областю визначення бінарного відношення називають множину .

Областю значень бінарного відношення називають множину .

Для бінарних відношень означено теоретико-множинні операції об'єднання , перетин , різниці.

, , .

Доповненням до відношення R називають множину , тобто виконується для всіх пар (х,у), які не належать R.

Нехай R – бінарне відношення. Обернене відношення до R позначається . Упорядкована пара (y,x) належить тоді і тільки тоді, коли (х,у) належить R.

Якщо , то , де X - деяка множина. Якщо , то .

Якщо бінарне відношення задане на двох множинах, то граф відношення можна побудувати таким чином. Вершини графа, що відповідають елементам першої множини, розташовуються ліворуч, вершини графа, що відповідають елементам другої множини, розташовуються праворуч. Таким чином, дуги графа спрямовані зліва направо.

Нехай задані множини , і відношення . Граф цього відношення зображено на рисунку 3.

Рис. 3. Граф відношення

Для того, щоб побудувати граф відношення , змінимо напрямки дуг (рис. 4).

Рис. 4 Граф відношення .

Тепер вивчимо спосіб одержання відношення з двох інших відношень, використовуючи операцію композиції.

Нехай є множина і і відношення , . Доповнимо рис. 3. зобразивши на ньому крім графа відношення R, граф відношення .

Рис. 5. Граф відношення R і відношення .

Нехай R і – відношення, такі, що , , де X,Y,Z - деякі множини. Композицією відношень R і називається відношення, що складається з упорядкованих пар (х,z), , , для яких існує елемент , такий, що виконуються умови , . Композиція відношень R і позначається .

Зокрема, для відношень , , зображених на рис. 6, композиція є відношення, що зображене на рис. 6 і с підмножиною декартового добутку .

Зауважимо, що для пари . "проміжних" елементів Y може бути кілька, однак їх кількість (якщо вона не нульова) не впливає на вид композиції .

Рис. 6. Граф відношення

Операція композицій відношень дозволяє ввести поняття степеня бінарного відношення, що задане на одній множині.

Нехай R - деяке відношення, визначене на множині X: R.Тоді п-й степінь відношення R позначається і визначається рекурсивно так:

- тотожне відношення на множині X,

, для

Із означення маємо, що

, , , тощо.

Нехай - відношення на множинах X і Y. Якщо , то перерізом відношення R за х, що позначається . є множина . що складається з елементів , таких, що .

Об'єднання перерізів за елементами деякої підмножини називається перерізом R(Z) відносно під множили Z.

Множина, що складається з перерізів відношення за кожним елементом з X, називається фактор-множиною множини Y за відношенням R і позначається . Формально можна записати, що .

Приклад. Розглянемо перерізи відношення R на множинах

, , що задане графом (рис.7)

Рис. 7. Граф відношення

Можна одержати такі перерізи:

, , , , .

Фактор-множина .

4. Властивості бінарних відношень

Кожне бінарне відношення на множині X може мати одну або кілька з названих властивостей. Ці властивості визначають вид матриці і графа відношення.