6. Арифметичний трикутник (трикутник Паскаля)

(1)

Послідовні значення можна підрахувати за допомогою формул, які перевіряються безпосередньо за допомогою (1):

, (2)

Побудуємо так званий арифметичний трикутник.

1. Покладемо , запишемо це значення у перший рядок.

2. В другому рядку запишемо значення , таким чином, щоб значення опинилося над проміжком між числами другого рядка (рис. 2).

3. Наступний рядок: перше і останнє (третє) числа є . Між цими числами запишемо значення . За формулою (2) , тобто дорівнює сумі чисел попереднього рядка, що розміщені ліворуч та праворуч від нього: .

4. За таким же правилом заповнюємо наступні рядки – по краям пишемо числа , а всі проміжні значення одержуємо як суми двох чисел попереднього рядка, що розміщені ліворуч та праворуч від шуканого значення. В результаті одержимо арифметичний трикутник, перші рядки якого наведено на рис. 2.

Рис. 2. Арифметичний трикутник

При побудові арифметичного трикутника кожне число n-рядка бере участь у формуванні двох чисел (n+1)-го рядка. Якщо додати числа (n + 1)-го рядка через одно, то одержана сума дорівнює сумі всіх чисел n-рядка.

Через одно числа (n+1)-го рядка можна додавати двома способами – підсумувати числа, що розміщені на непарних позиціях у рядку, або ті, що розміщені на парних позиціях. В обох випадках одержимо однакове число, яке дорівнює сумі чисел у рядку з попереднім номером n. Цю властивість запишемо у вигляді

Обрані тотожності

З властивостей арифметичного трикутника випливає, що сума чисел (n+1)-го рядка вдвічі більше суми чисел n-го рядка. В першому рядку стоїть число 1, і сума чисел першого рядка 1. Тому у (n+1)-му рядку сума чисел дорівнює , тобто

Ще кілька властивостей наведемо без доведення

Звідси

7. Розв’язування рекурентних рівнянь.

Числову послідовність можна задати рекурентним рівнянням (використовують також термін рекурентне співвідношення). Таке рівняння описує правило для знаходження елементів послідовності через один або декілька попередніх, при чому задано відповідну кількість початкових елементів.

Розв’язком рекурентного рівняння називають послідовність, яка задовольняє це рівняння. Інакше кажучи, послідовність задано рекурентною формулою, а потрібно знайти явний вираз для через п.

Метод рекурентних рівнянь у комбінаториці полягає у зведенні комбінаторної задачі для меншої кількості об’єктів.

Приклад.

Розглянемо рекурентне співвідношення

Його розв’язок – послідовність .

Справді

8. Числа Фібоначчі

Цю задачу розв’язував у 1202 ст. Леонардо Пізанський, відомий як Фібоначчі.

Задача, яка розглядалася, має такий вигляд:

«Кожна пара дорослих кролів приносить щомісяця ще пару кроликів (самку і самця), які, у свою чергу, починають давати такий самий приплід через два місяці після свого народження. Скільки пар кроликів буде через рік, якщо на початку року була одна пара новонароджених кроликів і жоден з них за рік не загинув?»

Позначимо через кількість пар кроликів на початку п-го місяця. Тоді за умовою , , , оскільки на початку 3-го місяця з'являється приплід. Далі , , оскільки приплід дає як первинна пара, так і пара, що народилася наприкінці другого місяця. Легко бачити, що дані числа зв'язані між собою співвідношенням:

,

оскільки на початку п-го місяця маємо всі пари, які були на початку попереднього, і, крім того, приплід принесуть всі пари, що народилися за два місяці до даного і раніше.

Легко підрахувати, що , тобто через рік буде 233 пари кроликів.

Числа називають числами Фібоначчі. Ці числа зустрічаються у різних розділах математики, наприклад, при оптимальному знаходженні точок екстремуму методом проб.

Наведемо 14 членів послідовності з початковими членами , :

0,1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ... (*)

Наведемо явну формулу для обчислення довільного числа Фібоначчі, яку вперше одержав Біне. Для послідовності (*) формула має вигляд

До чисел Фібоначчі приводить, наприклад, така задача теорії інформації. Позначимо через , кількість повідомлень, які можні передати за допомогою п сигналів 0 і 1 так, щоб при цьому ніде не опинилися поряд два сигнали 0. Зрозуміло, що (відсутність сигналу розглядається як одне «порожнє» повідомлення), . Всі повідомлення «довжиною» (п+2) кількістю можна поділити на два класи:

а) ті, в яких перший сигнал є 1; їх кількість дорівнює , оскільки другий сигнал може бути як 0, так і 1;

б) ті, в яких перший сигнал є 0, і, отже, другий сигнал обов’язково є 1; їх кількість дорівнює .

Отже, , тому є числами Фібоначчі.

Загального методу розв’язування рекурентних співвідношень немає. Проте певний клас рівнянь можна розв’язувати однаковим методом.

Рекурентне рівняння називають лінійним однорідним порядку k зі сталими коефіцієнтами, якщо воно має вигляд

де – дійсні числа та .

Приклад.

– лінійне однорідне першого порядку

– лінійне однорідне другого порядку

– лінійне однорідне п’ятого порядку

– нелінійне

– нелінійне

– лінійне неоднорідне

Розв’язок рекурентного рівняння k порядку називають загальним, якщо він залежить від k довільних сталих і будь-який його розв’язок можна одержати підбором цих сталих.

Щоб рекурентне рівняння визначало конкретну послідовність, достатньо задати k початкових умов: . Із цих умов і визначають сталі .

Теорема. Якщо послідовності – це розв’язки рекурентного рівняння , то для довільних чисел послідовність також являє собою розв’язок цього рівняння.

Теорема. Якщо число – корінь рівняння , то послідовність – розв’язок рекурентного рівняння.

Приклад. Послідовність чисел Фібоначчі задає рекурентне співвідношення другого порядку з початковими умовами

, . Характеристичне рівняння , тобто , звідки випливає, що

.

Отже .

Для визначення констант і скористаємося початковими умовами

Отримаємо .

Отже .

Література

6. Андерсон, Джеймс А. Дискретная математика и комбинаторика: Пер. с англ. – М.: Издательскийдом «Вильямс», 2004 р. – 960 с.

7. Нікольський Ю.В., Пасічник В.В., Щербина Ю.М. Дискретна математика. – К.: Видавнича група ВНV, 2007. – 368 с.

8. Комп’ютерна дискретна математика: Підручник / М.Ф. Бондаренко, Н.В. Білоус, А.Г. Руткас. – Харків: «Компанія СМІТ», 2004. – 480 с.

9. Дискретна математика: Підручник / Ю.М. Бардачов, Н.А. Соколова, В.Є. Ходаков; За ред. В.Є. Ходакова. – 2-е вид., переробл. і допов. – К.: Вища шк., 2007. – 383 с.: іл.

10. Захарова Л.Е. Алгоритмы дискретной математики: Учебное пособие. – Моск. гос. ин-т. электроники и математики. – М. 2002. – 120 с.