3. Основні формули

Розміщенням без повторень з n елементів по r називаються впорядковані r-вибірки без повторень. Їх число позначають і обчислюються за формулою:

Доведемо це твердження. Кожна r-перестановка є впорядкованою по­слідовністю завдовжки r, члени якої – попарно різні й вибираються з n-елементної множини. Тоді перший член цієї послідовності може бути вибраний n способами, після кожного вибору першого члена послідовності другий – (n-1) способами і т. д. Відповідно після кожного вибору першого, другого і т. д. аж до (r–1)-го членів послідовності r-й член може бути вибраний способами, звідси за узагальненим правилом добутку дістаємо наведену вище формулу.

Звичайно розміщення без повторень з n елементів по n називаються перестановками з n елементів. Їх число обчислюється за формулою

Приклад. Скількома способами можна скласти триколірний прапор, якщо маємо 5 різних кольорів?

Розв’язок. Треба знайти число 3-вибірок з 5 елементів (при чому всі кольори різні), порядок розміщення кольорів не важливий. Отже треба найти число впорядкованих вибірок, тобто число розміщень з 5 по 3 без повторень.

способів.

Відмітимо, що цю задачу можна розв’язати інакше. Для вибору кольору першої полоси маємо 5 варіантів. Після зробленого вибору колір для другої полоси можна вибрати 4 способами з 4 що залишилися. Далі вибираємо колір для третьої полоси прапора з 3-х. Це можна зробити 3-ма способами. За правилом добутку маємо способів.

Приклад. Скількома способами можна поставити в ряд 5 людей для фотознімка.

Розв’язок. Ряд з 5 людей можна розглядати як впорядковану вибірку з 5 елементів по 5. Тоді за формулою маємо способів.

Розміщення з повтореннями з n елементів по r впорядковані r-вибірки з n елементів з повтореннями. Їх число позначається

.

Приклад. В деякій країні не було двох жильців з однаковим набором зубів. Яка найбільша кількість жильців цієї країни?

Розв’язок. .

Приклад. В одному з перших поколінь ЕОМ «Стріла» (ОЗУ) ОП мала 2048 клітинок, кожна з яких складалася з 43 розрядів.

Розв’язок. В будь-якій клітинці інформація (число) представлялась у вигляді двійкового, тобто складається з 0 і 1, впорядкованого набору довжини 43. Всього місць для 0 і 1 рівне . Таким чином маємо впорядковані r-вибірки з з повтореннями. Їх число знаходимо за формулою де r=88064.

Сполучення без повторень з n елементів по r називаються невпорядковані r-вибірки з n елементів без повторень. Їх число позначається і обчислюється за формулою:

.

Сполучення без повторень з n елементів по r утворюють k-елементні підмножини вихідної множини потужності n.

Числа називаються біноміальними коефіцієнтами.

Приклад. Скількома способами можна вибрати 3 різних кольори 5-х які маємо.

Розв’язок. Очевидно, треба підрахувати число 3-вибірок з 5 елементів, при чому з умови задачі видно що серед вибраних елементів не повинно бути однакових і що порядок розміщення кольорів не важливий. Значить треба знайти число невпорядкованих вибірок, тобто число Сполучення без повторень з 5 елементів по 3.

За формулою маємо: .

Сполучення з повтореннями з n елементів по r називаються невпорядковані r-вибірки з n елементів з повтореннями.

Їх число позначається і обчислюється за формулою:

.

Приклад. В кіоску продається листівки 10 видів. Скількома способами можна купити: а) 5 листівок, б) 5 різних листівок, в) 15 листівок з повтореннями.

Розв’язок. Їх число визначається за формулами:

а) способи

в) способи

У випадку б) треба підрахувати число невпорядкованих 5-вибірок з 10 елементів без повторень (всі листівки різні). Їх число визначається за формулою способи.