Тема 2 Комбінаторика

Питання.

1. Класичні задачі комбінаторики

2. Правило суми та добутку

3. Основні формули

4. Задача про цілочислові розв'язки

5. Біном Н’ютона

6. Арифметичний трикутник (трикутник Паскаля)

7. Розв’язування рекурентних рівнянь.

8. Числа Фібоначчі

Комбінаторика – це наука, основним завданням якої є перерахунок і перелічення елементів у скінченних множинах.

Виникла комбінаторика у XVII ст. Але у самостійну наукову дисципліну сформувалася лише у ХХ ст.

Виділяють такі 3 проблеми комбінаторики:

1. Задачі на перелічення, в яких необхідно визначити кількість розміщень елементів скінченної множини, що задовольняють певні умови.

2. Задачі про існування та побудову. В задачах такого класу розглядається питання: чи має місце визначена конфігурація частин скінченних множин з деякими властивостями; якщо така конфігурація існує, то як її побудувати.

3. Задачі про вибір. Задачі такого типу досліджують умови, за яких можна здійснити вибір підмножини або деякої сукупності частин множини так, щоб задовольнити певні вимоги.

1. Класичні задачі комбінаторики

1. Магічний квадрат. Розмістити числа 1,2,3,4,5,6,7,8,9, у вигляді квадрату так, щоб сума чисел будь-якого із стовпців і діагоналей була однією й тією ж.

4 9 2

3 5 7

8 1 6

2. Шахові задачі. Добре відома задача про ферзі: Поставити на шахову дошку найбільшу кількість ферзів таким чином, щоб кожен з них не міг взяти іншого.

Розв’язок тут досить очевидний – більше 8 ферзів на дошку поставить не вдається. Оскільки ферзь б’є по горизонталі, вертикалі і діагоналі шахової дошки розміром 8*8 кліток, то більше 8 ферзів поставити неможливо. Задачу можна розв’язати прямим перебором варіантів, і виявиться, що 8 ферзів можна розмістити таким чином, причому всього є 92 варіанти такого розміщення.

В загально прийнятих позначеннях вказаний варіант записується так:

(а,6), (b,3), (c,5), (d, 8), (e,1), (f,4), (g,2), (h,7).

3. Латинські квадрати. Квадрат розміром n рядків і n стовпців n*n ,складений з n літер таким чином, щоб кожна буква входила лише один раз у кожний стовпець і кожний рядок, називають латинським.

A B C D

B A D C

C D A B

D C B A

2. Правило суми та добутку

Правило суми. Якщо об’єкт a може бути вибраний p способами, а об’єкт b – іншими q способами, то вибір «або a, або b» може бути здійснений p+q способами.

Приклад. Студент має вибрати тему курсової роботи зі списку, розміщеного на трьох аркушах. Аркуші містять відповідно 20, 15,17 тем. З якої кількості можливих тем студент робить свій вибір?

За правилом суми кількість тем для вибору становить 20+15+17=52.

Правило добутку. Якщо об’єкт а можна вибрати p способами і після кожного з таких виборів об’єкт b, у свою чергу, може бути вибраний q способами, то вибір «a та b» у вказаному порядку можна здійснити pq способами.

Це правило використовують тоді, коли способи вибору а та в – незалежні.

Доведення.

Нехай , де . Розглянемо множини пар , де . Тоді множини попарно не перетинаються, . Множина всіх пар , і за правилом суми маємо .

Сформульоване та доведене правило добутку для послідовного вибору двох елементів може бути узагальнене на n елементів. Загалом правило добутку формулюється так:

Якщо об'єкт може бути вибраний способами, після чого об'єкт може бути вибраний способами, і для будь-якого і, де , після вибору об'єктів об'єкт може бути вибраний способами, то вибір упорядкованої послідовності m об'єктів може бути здійснений способами.

Набір елементів із множини називають вибіркою обсягом r, або r-вибіркою.

Вибірку r-елементів називають

r-перестановкою, якщо враховується порядок слідування елементів, і

r-сполученням, якщо беруться до уваги тільки елементи без урахування їхнього порядку;

n-перестановка з п різних елементів є просто перестановкою.

Приклад. Для множини розрізняють шість 3-перестановок, утворених з тих самих елементів: аbс, асb, bас, bса, саb, сbа; водночас ці вибірки є різними записами того самого 3-сполучення елементів а,b,с.

Вибірки можуть допускати і не допускати повторення елементів. У разі r-вибірок із повторенням розрізняють два випадки:

• запас елементів, що повторюються, обмежений і визначається специфі­кацією , де – кількість елементів i-го вигляду. Загальне число елементів початкової множини причому .

• запас елементів не обмежується й у вибірці з r-елементів допускається будь-яке число повторень, що не перевищує . Початкову множину в цьому випадку можна розглядати як таку, що складається з різних елементів, але після вибірки деякого елемента він відновлюється в цій множині. Таку вибірку називають вибіркою з поверненням.