3. Операції над множинами

Об’єднання .

Рис. 2. Зображення об’єднання множин за допомогою

діаграм Ейлера-Венна

Перетин .

Рис. 3. Зображення перетину множин за допомогою

діаграм Ейлера-Венна

Різниця .

Рис. 4. Зображення різниці множин за допомогою

діаграм Ейлера-Венна

Симетрична різниця

а

б

Рис. 5. Зображення симетричної різниці множин за допомогою

діаграм Ейлера-Венна

Доповнення .

Існує універсальна множина .

Операції об’єднання допускають узагальнення:

Нехай І - деяка множина,елементами якої є індекси, і нехай для будь-якого визначена множина . Тоді

,

4. Розбиття і покриття.

Нехай - деяка сукупність підмножин множини А, . Сукупність називається покриттям множини А, якщо кожен елемент А належить хоча б одному з :

.

Сукупність називається диз’юнктивною, якщо елементи цієї сукупності попарно не перетинаються, тобто кожний елемент множини А належить не більше ніж одній з множин :

.

Диз’юнктивне покриття називається розбиттям множини А.

Приклад.

Нехай . Тоді є покриттям, але не розбиттям, є розбиттям (і покриттям), а сукупність є диз’юнктивною, але не є покриттям, ні розбиттям.

5. Властивості операцій над множинами:

1. ідемпотентність

2. комутативність

3. асоціативність

4. дистрибутивність

5. поглинання

6. властивість нуля

7. властивість одиниці

8. інволютивність (закон заперечення заперечення)

9. Закони де Моргана:

10. властивість доповнення

11. вираз для різниці

6. Ком’ютерне зображення множин

Для комп'ютерного зображення множин у використовують такі способи:

1. накопичення елементів множини у невпорядкованому вигляді;

2. за допомогою бітових рядків.

Якщо використовувати спосіб 1, то операції із множинами вимагатимуть значних витрат часу через необхідність щоразу здійснювати перегляд елементів.

Упорядкуємо довільним способом елементи універсальної множини. Нехай універсальна множина містить п елементів.

Тоді • Множину зображають у комп'ютері рядком із 0 та 1 довжини п так: якщо , то і -й біт дорівнює 1. якщо , то і-й біт дорівнює 0.

Приклад. Нехай , , . Знайти об’єднання множин . Множину А зобразимо рядком 0100001101,множину В – рядком 1100011001.

Неважко переконатись, що

• перетину множин відповідає порозрядна кон'юнкція над бітовими рядками.

• об'єднанню множин – порозрядна диз'юнкція над бітовими рядками.

Логічні операції наведені в табл. 1, де символ 1 відповідає значенню ТRUЕ (істина), символ 0 – відповідає значенню FALSЕ (хибно).

Комп’ютери відображають інформацію за допомогою бітів. Біт має два можливі значення – 0 (нуль) і 1 (одиниця). Його можна використовувати для подання значень істинності T й F. Зазвичай 1 використовують для зображення T й  0 – для зображення F. Змінну називають булевою, якщо її значення – T чи F. Отже, булеві змінні можна подати за допомогою бітів.

Комп’ютерні операції над бітами відповідають логічним операціям. Замінивши T на 1, а F – на 0 у таблицях істинності для логічних операцій Ú, Ù та Å, отримаємо таблиці відповідних операцій над бітами. Ми будемо також використовувати нотацію OR, AND і XOR відповідно для логічних операцій Ú, Ù та Å, як у багатьох мовах програмування. Значення операцій OR, AND та XOR над бітами наведено в табл. 1

Таблиця 1

x	y	or	and	xor
0 0 1 1	0 1 0 1	0 1 1 1	0 0 0 1	0 1 1 0

Приклад. Знайдемо результати операцій порозрядного OR, порозрядного AND і порозрядного XOR бітових рядків 1011000011 і 1101010101. Одержимо

1011000011

1101010101

1111010111 — порозрядне OR

1001000001 — порозрядне AND

0110010110 — порозрядне XOR

Зауваження! Якщо універсальна множина U має велику потужність, а підмножини універсальної множини не дуже потужні, то зображення за допомогою бітових рядків не є ефективним з точки зору витрат нам’яті. У такому разі для зображення множин доцільно використовувати інші структури даних - як правило, зв'язані списки або хеш-таблиці. У деяких задачах доцільно використовувати спеціальні методи зображення множин, в основі яких є використання дерев.

Література

1. Андерсон, Джеймс А. Дискретная математика и комбинаторика: Пер. с англ. – М.: Издательскийдом «Вильямс», 2004 р. – 960 с.

2. Нікольський Ю.В., Пасічник В.В., Щербина Ю.М. Дискретна математика. – К.: Видавнича група ВНV, 2007. – 368 с.

3. Комп’ютерна дискретна математика: Підручник / М.Ф. Бондаренко, Н.В. Білоус, А.Г. Руткас. – Харків: «Компанія СМІТ», 2004. – 480 с.

4. Дискретна математика: Підручник / Ю.М. Бардачов, Н.А. Соколова, В.Є. Ходаков; За ред. В.Є. Ходакова. – 2-е вид., переробл. і допов. – К.: Вища шк., 2007. – 383 с.: іл.

5. Захарова Л.Е. Алгоритмы дискретной математики: Учебное пособие. – Моск. гос. ин-т. электроники и математики. – М. 2002. – 120 с.