Тема 4. Теорія функцій. Алгебри

Питання

1. Алгебраїчні структури

2. Алгебри булевих функцій

1. Алгебраїчні структури

Операцією на множині S називається функція f, яка є відображенням виду , n N, де – декартів добуток , в який входить n разів.

Стверджують, що операція має порядок n або є n-арною операцією. Частіше зустрічається ситуація, коли порядок дорівнює 1 або 2. Операції виду називають унарними, а операції називають бінарними. Елементи упорядкованого набору з n елементів в області визначення називають операндами. Операції звичайно позначають символами, що на­зивають операторами. У випадку унарних операцій звичайно символ оператора ставлять перед або над операндом.

Приклади. Прикладами унарних операцій є операція зміни знаку (-) на множині дійсних чисел R(-2,678; -56), операція зведення до степеня (наприклад, до квадрату) на множині R: 56², 7². В алгебрі множин прикладом унарної операції є операція доповнення множин. Бінарними операціями на множині дійсних чисел R є арифметичні операції — додаван­ня, віднімання, множення, ділення (+, *, /). В алгебрі множин бінарними є операції — об’єднання ( ), перетин ( ), різниця (/).

Операції записують одним з трьох способів. У першому випадку оператор ставиться між операндами (infix), у другому – перед операндами (prefix) і у третьому — після операндів (postfix). Розглянемо три варіанти запису бінарної операції арифметичного виразу а + b.

infix: а + b,

prefix: +ab,

postfix: ab+.

Відповідно до більшості математичних текстів використовується позначення infix. Форми запису postfix і prefix мають ту перевагу, що не потребують дужок при визначенні порядку обчислень складних виразів, і це робить їх особливо зручними для автоматичної обробки. Вони часто використовуються для представлення виразів у пам’яті комп’ютера. Ми розглянемо їх більш докладніше на прикладі postfix.

Алгоритм обчислення значень виразу, що записаний у формі postfix, виглядає так:

• При перегляді запису зліва направо виконується перша знайдена операція, якій безпосередньо передує достатня для неї кількість операндів.

• На місці виконаної операції і використаних для цього опе­рандів у рядок записується результат виконання операції.

• Повертаємося до кроку 1.

Нехай дано множину А, на якій визначено деяку бінарну операцію . Якщо а b= b а для всіх а, b А, то стверджують, що бінарна операція на множині А має властивість – комутативність.

Якщо (а b) с=а (b с) для всіх а, b, с А, то стверджують, що бінарна операція на множині А має властивість — асоціативність.

Нехай на множині А визначено дві бінарні операції і . Якщо для всіх а, b, с А виконується а (b с) = (а b) (а с), то стверджують, що операція має властивість – дистрибутивність відносно операції .

Визначення:

Якщо для бінарної операції на множині А існує еле­мент е А такий, що для всіх а А

е а=а е=а,

тоді е називається одиницею відносно до операції . Нехай – операція на А з одиницею е і елементи х,у є А задовольняють рівності

х у=е=у х.

Тоді у називаєтеся оберненим елементом до х відносно до операції , і х називається оберненим елементом до у відносно операції .

Визначення:

Нехай п – довільне натурально число. Додавання за модулем п цілих чисел а і b називається алгебраїчна операція, результатом якої є решта від ділення суми а+b на п. Множенням за модулем п чисел а і b називається алгебраїчна операція, результатом якої є решта від ділення добутку а*b на п. Ці операції (позначимо їх, , ) визначені на множині цілих невід’ємних чисел Z+:

а b=с, так, що a+b=k*n+c, 0<с<п; a, b, k Z+

а b=d, так, що a*b=f*n+d, 0<d<п;a,b, f Z+

Визначення

Алгебраїчною структурою (короткою – структурою) називається множина разом із заданими операціями, визначеними і замкненими операціями на цій множині. Ця множина називається носієм алгебраїчної структури.

Приклад. Алгебраїчна структура з операцією додавання на множині N натуральних чисел позначається (N, +).

Приклад. Множина ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} разом із звичайною операцією додавання (+) не буде алгебраїчною струк­турою, оскільки результат виконання операції може не нале­жати множині , наприклад, 6+3=9, 9 . Але ( , ) є алгебраїчною структурою, оскільки область значень операції лежить у .

Визначення:

Структура A'-(А', ') є підструктурою алгебраїчної структури 8 - (А, ), якщо:

1. А' А.

2. ' і операції одного порядку і звуження операції 0 на підмножині А' співпадає з операцією ' (наприклад, для бінарних операцій а b = а ' b для всіх а, b А').

Приклади. Нехай Е – множина парних натуральних чисел, тоді (Е, +) буде підструктурою структури (N, +), де N – множина натуральних чисел.

Визначення:

Гемоморфізм, який є бієкцією, називають ізоморфізмом. Якщо існує ізоморфізм між двома структурами, то гово­рять, що вони ізоморфні одна одній.

Визначення:

Півгрупою називається алгебраїчна структура з множиною-носієм А і бінарною операцією : А² А, яка задовольняє властивості асоціативності:

х (у z) = (х z) z; х, у, z А.

Визначення:

І Моноїдом називають алгебраїчну структуру з множиною-носієм М і бінарною операцією : М² М такою, що

1. асоціативна:

х (у z) = (х у) z, для всіх х,у,z М.

2. Існує е є М— одиниця відносно : е х=х=х е для всіх х М.

Визначення:

Групою називають множину G з бінарною операцією , що замкнена в Є, такою, що

1. асоціативна:

x (у z)=(х у) z для всіх x, y, z G.

2. Існує елемент е G – одиниця відносно :

е х=х е=х для всіх x G.

3. Кожному елементу x G відповідає обернений елемент х' G відносно :

х=x x’=e для всіх x G.

Твердження 1. Нехай – операція на множині А й існує одиниця е відносно , тоді одиничний елемент єдиний.

Доведення. Нехай е і е' – дві одиниці відносно . Тоді для будь-яких а,b А правильне а = е' а, b = b е. Підставляючи а = е, b = е', одержуємо е=е' е=е'.

Твердження 2. Нехай – асоціативна операція на множині A i e – одиниця відносно . Тоді, якщо х є А і х має обернений елемент, то обернений елемент, єдиний відносно .

Доведення. Припустимо, що х' і х" – обернені елементи до х, так що

x х' = х' x = e, x х" = х" x = е,

тоді х' = х' е = х' (х х") = (х' л:) х" = е х" - х".

Всередині групи (G, ) можна розв’язати рівняння а х - b.

До рівності а х — b застосуємо зліва а' — обернений до а елемент і послідовно одержуємо:

а' (а х) = а' b,

(а' а) х = а' b ( асоціативна), е х = а' b (властивість обернених елементів), д: = а' b (властивість одиниці); х — розв’язок.

Визначення:

Кільцем (R, , ) називається множина R з визначеними на неї бінарними операціями і , такими, що

1. асоціативна: х (у z)=(х у) z для всіх х,у,z R.

2. комутативна: X у = у х для всіх х,у R.

3. має одиницю, яка називається нулем і позначається 0:

0 x = х для всіх х R.

4. Існує обернений елемент відносно для кожного х R:

(-x) х = х (-x) = 0 для всіх х R.

5. асоціативна: x (у z) = (x у) z для всіх x, у, z R.

6. дистрибутивна відносно зліва і справа:

x (у z) = (x у) (x z),

(x у) z = (x z) (у z) для всіх де, у, z R.

Визначення:

Поле (R, , ) – це комутативне кільце з одиницею 1 (що відрізняється від 0), в якому кожний елемент а (що відрізняється від 0) обернений за множенням.