5. Відношення еквівалентності, порядку, толерантності

Розглянемо деякі найчастіше використовувані класи бінарних відношень.

Бінарне відношення, що має властивості рефлексивності, симетричності і транзитивності, називається відношенням еквівалентності (позначається ).

Нехай задана множина А і відношення еквівалентності, що визначене на цій множині: . Елементи , для яких виконується , називаються еквівалентними. Важлива властивість будь-якого відношення еквівалентності R,визначеного на множині А, полягає в тому, що воно розбиває множину А на неперетинні підмножини, які називаються Класом еквівалентності породженим елементом a з множини А називається множина всіх елементів з А еквівалентних елементу а.

У випадку скінченної множини А розбиття її на класи еквівалентності відбувається таким чином. Нехай на множині А задане відношення еквівалентності R. Виберемо елемент і утворимо клас що складається з усіх елементів , для яких виконується відношення . Клас може складатися тільки з одного елемента , якщо не існує інших елементів у, таких, що . Зауважимо, що через рефлексивність відношення еквівалентності завжди виконується . Якщо , то виберемо з А елемент , що не входить до класу і утворимо клас , який складається з елементів , для яких виконується відношення . Якщо , то виберемо з А елемент , що не входить до класів і , і утворимо клас . Будемо продовжувати побудову класів доти, доки в А не залишиться жодного елемента, що не входить до одного з класів . Вийде система класів . Ця система класів називається системою класів еквівалентності і має такі властивості:

а) класи попарно не перетинаються;

б) будь-які два елементи з одного класу еквівалентні;

в) будь-які два елементи з різних класів не еквівалентні.

Приклад. Відношення рівності « = » на будь-якій множині чисел є відношенням еквівалентності. Відношення «вчитися в одному класі» на множині учнів школи є відношенням еквівалентності і розбиває всю множину учнів школи на окремі класи. Відношення «мати однакове ім'я» на визначеній множині людей є відношенням еквівалентності і розбиває всю множину людей на класи еквівалентності — групи людей з однаковими іменами.

Відношення .

Відношення називається відношенням часткового порядку (позначається ), якщо воно:

а) рефлексивне ( );

б) антисиметричне (якщо і , то );

в) транзитивне (якщо і , то ).

Якщо на множині задане відношення часткового порядку, то ця множина називається частково упорядкованою.

Існує спосіб наглядного зображення скінченної частково упорядкованої множини, який називають діаграмою Хассе. Кожний елемент позначають точкою, і будь-яку пару точок, що відповідають елементам і , з'єднують стрілкою, що йде з точки а в точку b, тоді і тільки тоді, коли , і не існує такого, що , і елемент с відрізняється і від а, і від b.

Приклад. Прикладом відношення часткового порядку є відношення включення множин, справедливе для деяких пар підмножин фіксованої множини. На рис. 10 зображено граф відношення включення на множині всіх підмножин триелементної множини .

Рис. 10. Граф відношення включення множин

Із властивістю транзитивності пов'язане поняття шляху в графі.

Шлях у графі відношення з вершини а до вершини b — це послідовність дуг , , ,..., , . Число дуг називається довжиною шляху.

Використовуючи поняття шляху в графі, можна показати, що властивість транзитивності виконується у відношенні, що задане графом, якщо будь-які дві вершини, між якими існує шлях, з'єднані дугою.

Часто при зображенні графа відношення порядку виключають дуги, які можна добудувати, використовуючи властивість транзитивності, тобто, якщо на графі існує шлях з а до b, то дугу (а, b) не зображують. Крім того, розташовують вершини так, щоб спрямованість всіх дуг була знизу-нагору. Тоді спрямованість дуг можна не вказувати. Одержана таким чином діаграма достатня для визначення відношення порядку. Так, відношення включення множин з графом на рис. 4 можна зобразити за допомогою діаграми Хассе, як зображено на рис. 11.

Рис. 11. Діаграма Хассе відношення включення множин

З розглянутого прикладу видно, що не всі вершини графа відношення з'єднані між собою шляхами. Наприклад, не існує шляху між и .

Елементи а, b називаються порівнянними у відношенні часткового порядку R, якщо виконується хоча б одне із співвідношень або . Множина А, на якій задане відношення часткового порядку R і для якої всілякі два елементи цієї множини порівнянні, називається лінійно упорядкованою або повністю упорядкованою.

Повністю упорядкована множина відрізняється від частково упорядкованої тим, що в частково упорядкованій множині А можуть бути присутніми елементи, з яких можна складати непорівнянні пари.

Приклад. Множина N натуральних чисел повністю упорядкована відносно природної операції порівняння , яка істинна на деякій підмножині R пар (а, b) декартова квадрата . Будь-які два елементи порівнянні за R, оскільки хоча б одна з нерівностей , істинна. На рис. 6 розглянуту множину N задано за допомогою графа відношень і діаграм Хассе.

Рис. 12. Лінійно упорядкована множина натуральних чисел

Відношення часткового порядку, що є рефлексивним, антисиметричним і транзитивним, називається також відношенням нестрогого порядку. На відміну від нього, відношення строгого порядку (позначається <) визначається такими властивостями:

а) антирефлексивність (якщо , то );

б) асиметричність (якщо , то не правильне );

в) транзитивність (якщо і , то ).

Таким чином, якщо у відношенні нестрогого порядку властивість антисиметричності замінити асиметричністю, то одержимо строгий порядок.

Відношення називається відношенням толерантності, якщо воно: а) рефлексивне; б) симетричне і в) антитранзитивне.

Толерантність зображує собою формальне уявлення інтуїтивного поняття схожості. Схожість двох об'єктів не залежить від того, в якому порядку вони порівнюються, в цьому виявляється властивість симетричності. В той же час, якщо один об'єкт схожий з другим, а другий схожий з третім, то це не означає, що перший і третій об'єкти схожі, тобто властивість транзитивності може не виконуватися.

Розглянемо відношення толерантності на прикладі попу­лярної задачі «перетворення мухи на слона» як схожості між чотирибуквеними словами, якщо вони відрізняються однією буквою. Одержимо:

муха — мура — тура — тара — кара — каре — кафе — кафр —

каюр — каюк — крюк — крок — срок — сток — стон — слон.

Література

1. Зарипова Э.Р., Кокотчикова М.Г. Дискретная математика. Лекции по дискретной математике. Часть 1,2. – Издательство: РУДН, 2013. – 116 с.

2. Комп’ютерна дискретна математика: Підручник/ М.Ф. Бондаренко, Н.Ф. Білоус, А.Г. Руткас. – Харків: «Компанія СМІТ», 2004. - 480 с. с.42-52.

3. Нікольський Ю.В., Пасічник В.В., Щербина Ю.М. Дискретна математика. – К.: Видавнича група ВНV, 2007. – 368 с.