Міністерство освіти і науки України

Дискретна математика

Конспект лекцій для студентів

спеціальності 7.05010201 «Комп’ютерні системи та мережі»

навчально-наукового центру післядипломної освіти

Луцьк

РВВ Луцького НТУ

2014

УДК 004.422.632/004.422.632.4(07)

ББК 73Я7

Д46

Затверджено науково-методичною радою Луцького національного технічного університету,

протокол № ___ від «___»________20__ року.

Рекомендовано до видання науково-методичною радою факультету комп’ютерних наук та інформаційних технологій Луцького національного технічного університету,

протокол № ___ від «___»________20__ року.

Розглянуто і схвалено на засіданні кафедри комп’ютерної інженерії Луцького національного технічного університету,

протокол № ___ від «___»________20__ року.

Укладачі: М.В. Делявський, доктор технічних наук, професор Луцького НТУ

Н.В. Здолбіцька, кандидат технічних наук, доцент Луцького НТУ

Рецензент: К.В. Мельник, кандидат технічних наук, доцент Луцького НТУ

Відповідальний

за випуск: П.А. Пех, кандидат технічних наук, доцент Луцького НТУ

Д46

Дискретна математика [Текст]: конспект лекцій для студентів спеціальності 7.05010201 «Комп’ютерні системи та мережі» навчально-наукового центру післядипломної освіти. / уклад. М.В. Делявський, Н.В. Здолбіцька, – Луцьк: Луцький НТУ, 2014. – 100 с. Даний конспект лекцій охоплює курс дисципліни. Наведено теоретичні відомості про множини, формули комбінаторики, рекурентні співвідношення, основи теорії відношень, функцій та алгебри, графів та дерев. Є список рекомендованої літератури. Видання призначене для студентів спеціальності 7.05010201 «Комп’ютерні системи та мережі» навчально-наукового центру післядипломної освіти

УДК 004.422.632/004.422.632.4(07)

ББК 73Я7

© М.В. Делявський, Н.В. Здолбіцька 2014

Зміст

Тема 1 Множини. Операції над множинами 6

1. Основи теорії множин 6

2. Види множин 7

3. Операції над множинами 8

4. Розбиття і покриття. 10

5. Властивості операцій над множинами: 11

6. Ком’ютерне зображення множин 12

Тема 2 Комбінаторика 15

1. Класичні задачі комбінаторики 15

2. Правило суми та добутку 16

3. Основні формули 18

4. Задача про цілочислові розв'язки 20

5. Біном Н’ютона 22

6. Арифметичний трикутник (трикутник Паскаля) 22

7. Розв’язування рекурентних рівнянь. 24

8. Числа Фібоначчі 25

Тема 3. Основи теорії відношень 28

1. Основні поняття теорії відношень 28

2. Способи задання бінарних відношень 29

3. Операції над відношеннями 31

4. Властивості бінарних відношень 34

5. Відношення еквівалентності, порядку, толерантності 37

Тема 4. Теорія функцій. Алгебри 42

1. Алгебраїчні структури 42

2. Алгебри булевих функцій 46

Тема 5. Теорія графів 52

1. Основні означення та властивості 52

2. Деякі спеціальні класи простих графів 59

3. Способи подання графів 60

4. Шляхи та цикли. Зв’язність 70

5. Ізоморфізм графів 73

6. Ейлерів цикл у графів 74

7. Гамільтонів цикл у графі 76

8. Зважені графи та алгоритми пошуку найкоротших шляхів 77

9. Обхід графів 84

10. Планарні графи 88

11. Розфарбування графів 89

12. Незалежні множини вершин. Кліки 92

Тема 6. Дерева. 96

1. Основні означення та властивості 96

2. Рекурсія. Обхід дерев. Префіксна та постфіксна форми запису виразів 98

Тема 1 Множини. Операції над множинами

Питання.

1. Основи теорії множин

2. Види множин

3. Операції над множинами

4. Розбиття і покриття.

5. Властивості операцій над множинами:

6. Ком’ютерне зображення множин

1. Основи теорії множин

Поняття множини є одним із найважливіших у математиці. Німецький математик Георг Кантор – основоположник теорії множин - визначив множину як сукупність об'єктів, які добре розпізнаються за певною ознакою. Складена із окремих елементів сукупність – множина - є вже дещо ціле. Об'єкти, з яких складається множина, називаєть її елементами. Найвищий рівень абстракції, притаманний математиці, проявляється перш за все в понятті множини: ми можемо вивчати загальні властивості множин, не фіксуючи особливих властивостей елементів, які належать їм, абстрагуючись від сутності елементів. Множини можна (і в деяких випадках необхідно) конкретизувати, і, звичайно, можна розрізняти множини, наприклад, натуральних чисел, неперервних функцій на відрізку, різних комп'ютерних зображень деякого формату тощо.

Існує два підходи до побудови теорії множин, у яких поняття множини вводять по різном):

• конструктивний;

• формалістичний.

У конструктивній теорії множин поняття множини означують. У формалістичній теорії поняття множини буде первісним, тобто таким, що його не означують. Ми будемо розглядати поняття множини як первісне, тобто таким, що його не означують.

Поняття множини

Множиною називають сукупність деяких об'єктів, які можна розглядати як єдине ціле. Множини позначають великими буквами

А, В, С

Об'єкти, які складають множину, називають її елементами, позначають їх малими буквами . Якщо елемент належить множині, то записують , у противному разі .

Задання множини

Множину можна задати :

1. перерахуванням її елементів:

2. за допомогою характеристик її елементів;

3. графічно.

1. Належність елементів до множини А позначають так

, або де п = 1,2,..., N.

Наприклад, множина А = {а,е,і,о,u} містить елементи а,е,і,о,u і лише ці елементи. Множина не може містити двох однакових елементів, а порядок її елементів не фіксують.

2. Задати множину можна, вказавши спільну властивість всіх її елементів, увівши таке позначення: , яке читають так: "А – це множина об'єктів х, які мають властивість Р(х) "

Наприклад , – це множина {0.1,2,3,4.5,6}.

Іноді замість вертикальної риски використовують дві крапки, тобто

3. Множини часто задаються графічно, за допомогою діаграм Ейлера-Венна. Наприклад, на рис.1 зображено множини А = {1; 2} та В = {1; 4; 5} в універсальному просторі U.

Замкнену лінію, що обмежує елементи множини, називають кругом Ейлера. Прямокутник U в якому розміщені множини А та В – універсальним простором (множиною).

2. Види множин

Множину, яка не мас жодного елемента, називають порожньою і позначають символом

.

Множину, яка складається із скінченного числа елементів, називають скінченною. Число елементів множини А називають потужністю множини і позначають:

|А|.

Деякі множини мають загально прийняті позначення:

– множина натуральних чисел;

– множина цілих чисел;

– множина цілих невід'ємних чисел;

– множина раціональних чисел;

– множина дійсних чисел.

Множину В називають підмножиною множини А, якщо кожний елемент множини В належить множині А, тобто

де - знак належності.

Множина А називається надмножиною.

Якщо В є підмножиною А, а А в свою чергу є підмножиною В, то множини А і В називаються рівними .

Якщо і , то В називають власною підмножиною множини А.

Відмітим, що ,

.

Щоб розрізнити власні і невласні підмножини то використовують знак для власних підмножин і знак - для невласних .

Якщо , , то .

Не треба плутати відношення належності і включення .

Якщо , ,то не правильно що , так як єдиним елементом множини є .

Множину всіх підмножин множини А називають булеаном і позначають . .

Потужність множини позначають . Для скінченних множин потужніть – це число елементів множини ,рівне . Теорема

Наприклад для , але .

Якщо , то множини називаються рівнопотужними.