Проверка гипотезы об однородности выборок

Пусть имеется mвыборок объемамиn₁,..., n_m, извлеченных из различных совокупностей. Измеряемая величина в каждой из выборок может иметьkуровнейB₁, ...,B_k. Требуется проверить гипотезу о том, что исходные совокупности распределены одинаково. Обозначим_ij- число наблюдений вi-й выборке, имеющих уровеньB_j, . Имеем таблицуmkнаблюдений аналогично предыдущему пункту 5. Можно показать, что для проверки гипотезы справедлива процедура (11) - (12).

Пример 5. Имеются данные [3] о наличии примесей серы в углеродистой стали, выплавляемой двумя заводами (см. таблицу 6).

Таблица 6. Число плавок

	Содержание серы, 10-2%
	02	24	46	68	Сумма
Завод 1 Завод 2	82 63	535 429	1173 995	1714 1307	3504 2794
Сумма	145	964	2168	3021

Проверим гипотезу о том, что распределения содержания серы (нежелательный фактор) одинаковы на этих заводах.

По (11) находим: = 3.39. Число степеней свободы f = (2-1)(4-1) = 3; квантиль уровня 0.95

h = Q(0.95, 3) = 7.8.

Полученное нами из опыта значение 3.39 лежит в области допустимых значений, и потому у нас нет оснований считать, что содержание серы в стали этих заводов имеют различные распределения.

Выполнение

В таблице Results of Fitting... в последней строке столбцаPerson Chi-Squполучаем Х²= 3.59, число степеней свободыDegrs of Freedom f= 3, и уровень значимостиProbab. p= 0.31.поскольку эта вероятность не мала (не является значимой), гипотезу об одинаковом распределении содержания серы в металле на двух заводах можно принять (вернее, наблюдения этому не противоречат).

Задания

1. Проверить гипотезу о типе распределения на основе сгенерированной по заданному в таблице 7 закону выборке объема n. Проверить три гипотезы: о нормальности, о равномерности и о показательности.

Таблица 7. Исходные данные

№ варианта	3
Распределение Объем	E(3) 150

1. Гипотеза о нормальности:

Р² ₇30.995=р= 0.0000626.

Вероятность мала, гипотезу отклоняем.

2. Гипотеза о равномерности

Р² ₂₁358.760=р≈ 0.0.

Вероятность мала, гипотезу отклоняем.

3. Гипотеза о показательности:

Р² ₈ 7.185=р= 0.516.

Вероятность не мала, гипотезу принимаем.

2. Проверить гипотезу об однородности трех выборок.

Сгенерировать три выборки объемами n₁= 180,n₂= 100,n₃= 120 для заданного в таблице 8 распределения. Провести их группирование на 8 - 10 интервалах. Сделать все для 2-х вариантов:

а) параметры одинаковы;

б) параметры различны.

N	Тип	вариант 1	вариант 2
		a1=a2=a3	a1	a2	a3
3	Po(a)	10	9.5	10	11.5

выполнение в пакете STATISTICA

Группирование провести процедурой Frequency tables, и из трех таблиц сформировать одну. Гипотезу об однородности проверить аналогично п.6.

Сгенерируем три выборки объемами n₁= 180,n₂= 100,n₃= 120 для заданного в таблице 8 распределения. Проведем их группирование на 8 - 10 интервалах. Сделаем все для 2-х вариантов:

а) параметры одинаковы

Создадим таблицу, куда занесем результат сгруппированных выборок:

Произведем анализ:

В качестве результата анализа получаем высокую вероятность того, что выборки однородны:

б) параметры различны

Создадим таблицу, куда занесем результат сгруппированных выборок:

Полученный результат (0.002) говорит о том, что, скорее всего выборки неоднородны.