Лабораторная работа № 3 «Экспериментальное построение амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристик системы»

1. Цель работы

Ознакомиться на примере математической модели системы с принципом экспериментального построения графиков АЧХ и ФЧХ системы для дальнейшего их анализа.

2. Указания к самостоятельной работе

При подготовке к лабораторной работе необходимо изучить тему: «Типовые динамические звенья» по литературе [1], [2]. Составить схемы моделей динамических звеньев в соответствии с вариантом задания.

3. Краткие теоретические сведения

Пусть задано описание передаточной функции системы

. (3.1)

Сделав преобразование Фурье (Лапласа), можно получить следующее описание

(3.2)

Комплекснозначная функция называется комплексной частотной характеристикой системы (КЧХ) или амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ).

Обозначив модули соответствующих функций

,

можно получить следующее описание

(3.3)

где

(3.4)

(3.5)

Функции и определяемые зависимостями (3.4), (3.5), называются соответственно амплитудно-частотной (АЧХ) и фазочастотной (ФЧХ) характеристиками.

Если передаточная функция представлена полиномиальным выражением в виде (3.1), то АФЧХ системы можно представить следующим образом

(3.6)

где

(3.7)

, (3.8)

, – действительные части соответствующих полиномов числителя и знаменателя;

, – мнимые части полиномов числителя и знаменателя.

Функции и называются соответственно действительной и мнимой частотными характеристиками.

Из (3.6) с учетом (3.7) и (3.8) можно записать выражения для АЧХ и ФЧХ

(3.9)

(3.10)

На рис. 3.1 представлены типовые АЧХ и ФЧХ системы.

Рис. 3.1. АЧХ и ФЧХ системы

Частотные характеристики определяются следующими показателями:

• показатель колебательности — характеризует склонность системы к колебаниям: чем выше тем менее качественна система (как правило, в реальных системах );

• резонансная частота — частота, при которой АЧХ имеет максимум (на этой частоте гармонические колебания имеют наибольшее усиление);

• полоса пропускания системы — интервал от до при котором выполняется условие

(3.11)

• частота среза — частота, при которой АЧХ системы принимает значение, равное т.е.

(3.12)

(на рис. 3.1 условно принято ).

Частота среза косвенно характеризует длительность переходного процесса; справедливо соотношение

(3.13)

Таким образом, можно сделать важный вывод: чем шире полоса пропускания, тем система является более быстродействующей.

Далее рассмотрим закон преобразования гармонических сигналов линейными системами, имеющими — АЧХ и — ФЧХ (рис. 3.2).

Рис. 3.2. Преобразование гармонических сигналов

Имеем (рассматривается установившийся режим работы системы, для чего верхний предел интегрирования берется равным )

тогда

(3.14)

Результат имеет вид

(3.15)

Результат (3.15) можно трактовать так: если на вход системы подается косинусоидальный сигнал с амплитудой то на выходе в установившемся режиме имеет место также косинусоидальный сигнал с той же частотой, но уже с другими амплитудой и фазой: амплитуда выхода равна а сигнал имеет сдвиг фазы

Полученный факт используют для экспериментального определения и Для определения одной точки и на вход системы надо подать гармоническое воздействие

(3.16)

имеющее конкретную угловую частоту

В результате в системе возникнет переходный процесс (имеет место составляющая ) и установившиеся колебания с частотой После затухания переходного процесса (т.е. в установившемся режиме), если система устойчива , на выходе будут иметь место установившиеся колебания с частотой равной частоте воздействия, но отличающиеся по амплитуде и фазе. Одна точка АЧХ ( и ) определяется зависимостями

(3.17)

— сдвиг фазы выходного сигнала по отношению ко входу. Аналогично можно построить все точки АЧХ и ФЧХ (рис. 3.3).

Логарифмической амплитудно-частотной характеристикой (ЛАЧХ или ЛАХ) системы называется график функции вида

(3.18)

где

(3.19)

(3.20)

Рис. 3.3. Экспериментальное определение частотных характеристик динамической системы (динамического звена): а — система или звено; б — процессы на входе и выходе

Единицей измерения является децибел. По оси абсцисс откладывается частота  [с^–1] в логарифмическом масштабе (рис. 3.4). Равномерной единицей на оси абсцисс является декада. Декада представляет собой промежуток, на котором значение частоты увеличивается в 10 раз (рис. 3.4).

Частота на которой пересекается с осью абсцисс, называется частотой среза. Поскольку то начало координат чаще всего берется в точке (исключая точку так как ). Таким образом, начало координат можно брать в любой точке (в зависимости от интересующего нас диапазона частот, например: или другие), исключая точку Обычно начало координат помещают в точке

Логарифмической фазовой частотной характеристикой (ЛФЧХ или ЛФХ) называется график зависимости

При построении логарифмической фазовой частотной характеристики отсчет углов  идет по оси ординат в обычном масштабе в угловых градусах. По оси абсцисс откладывается по-прежнему частота в логарифмическом масштабе.

Важно иметь в виду, что ось абсцисс соответствует значению т.е. прохождению амплитуды входного сигнала через звено в натуральную величину. Верхняя полуплоскость ЛАЧХ соответствует значениям (усиление амплитуды), а нижняя полуплоскость — значениям (ослабление амплитуды).

Рис. 3.4. Логарифмические частотные характеристики