Лекция 6 Методы решения задач линейного программирования

 

 

Постановка задачи. Требуется найти оптимальные значения переменных , доставляющие экстремум линейной целевой функции

Имеется конечное число линейных ограничений вида:

Графо-аналитический метод решения задач линейного программирования

Пример. Найти оптимальные значения .

Целевая функция

Ограничения:

1 этап. Построение области допустимых решений (ОДР).

Для формирования ОДР необходимо в системе координат построить линии, соответствующие ограничениям, приравнивая их левые и правые части, и определить направления расположения допустимых значений искомых переменных в соответствии со знаками неравенств (рис.6.1).

Рис.6.1. Графическая иллюстрация решения задачи линейного программирования

Вычисления для построения первых двух ограничений:

	0	5
	10	0

	0	6
	6	4

Направления допустимости значений переменных и в соответствии с первыми двумя ограничениями – «вниз - влево». В соответствии с третьим ограничением значения переменной должны находиться выше оси , а в соответствии с четвертым ограничением значения переменной должны находиться правее оси . Следует иметь в виду, что границы ОДР в область допустимых решений входят. Это объясняется тем, что в ограничениях применяются знаки неравенств «меньше – равно» и «больше – равно».

2 этап. Окончательное определение оптимальных значений переменных и .

Для этого необходимо сначала построить произвольную прямую для целевой функции, приравняв ее выражение к любому числу, так, чтобы эта прямая располагалась в пределах выбранного масштаба рисунка. Приравняем выражение целевой функции, например, к числу «16» и построим соответствующую прямую линию.

	0	8
	8	4

После этого необходимо построить прямую линию, параллельную данной прямой, так, чтобы она коснулась границы ОДР. Координаты точки касания этой прямой с границей ОДР будут оптимальными значениями переменных и .

Для точного определения координат точки касания линии целевой функции границы ОДР (точных значений и ) необходимо решить систему, включающую в себя два уравнения: и . Решим эту систему уравнений: . Подставим это значение во второе уравнение:

Т.е. . При этом максимальное значение целевой функции .

 

Симплекс метод решения задач линейного программирования

 

ОДР в двухпараметрической задаче линейного программирования представляет собой плоский многогранник (см. предыдущий пример), а в общем виде это выпуклый многогранник.

Теорема: экстремум целевой функции в задаче линейного программирования, если он существует, всегда является абсолютным и достигается хотя бы в одной крайней точке многогранника, определяющего ОДР.

Примечание. Крайние точки – это точки пересечения границ ОДР.

Идея симплекс метода заключается в направленном переборе крайних точек ОДР. Этот метод является классическим в линейном программировании.

Пример. Требуется минимизировать целевую функцию

при следующих ограничениях:

Поcтавим в соответствие этой задаче следующую систему линейных уравнений:

(6.1)

(6.2)

(6.3)

Решим эту систему методом последовательного исключения неизвестных (методом Гаусса). В его основе лежат следующие элементарные преобразования:

1. Умножение какого - либо уравнения на число, отличное от нуля;

2. Сложение двух уравнений и последующая замена одного из них получившейся суммой;

3. Перемена местами любых двух уравнений.

С помощью элементарных преобразований получим следующую систему:

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Уравнение (6.6) – это сумма уравнений (6.2) и (6.3).

Уравнение (6.5) – это сумма уравнений (6.2) и (6.6).

Уравнение (6.4) - это сумма уравнения (6.1) и уравнений (6.5) и (6.6).

Пусть , при этом значения переменных будут следующими: .

Эти значения являются решением системы уравнений (6.4) – (6.6) и, значит, системы уравнений (6.1) – (6.3). Причем, , т.е. найденное решение допустимо.

Т.к. (см.6.4), то для уменьшения значения целевой функции необходимо увеличить , но увеличивать его бесконечно нельзя, иначе величины и станут отрицательными ( , эти выражения получены соответственно из уравнений 6.5 и 6.6). Согласно первому уравнению может быть равным 4/3, согласно второму уравнению 3. Для того, чтобы все условия задачи выполнялись, необходимо взять наименьшее из этих значений - (если принять ,то , что приемлемо, а , что не приемлемо для нашей задачи, т.е. необходимо принять ). Тогда из уравнения (6.5) следует, что .

С помощью элементарных преобразований приведем систему уравнений (6.4) – (6.6) к следующей системе:

(6.7)

(6.8)

(6.9)

Система (6.7) – (6.9) из системы (6.4) – (6.6) получена следующим образом:

,

разделим это уравнение на 3, получим - подставим в (6.6)

Запишем решение системы уравнений (6.7) – (6.9):

.

Здесь , уменьшать для дальнейшего уменьшения целевой функции нельзя , т.к. оно станет отрицательным , увеличивать его нет смысла, т.к. при этом увеличивается целевая функция. Следовательно, полученное значение является минимальным, и ему соответствует оптимальные значения искомых переменных: . Эти оптимальные значения переменных справедливы и для исходной задачи.