Лекция 3 Основы теории множеств и теории графов
Множество – это объединение в одно целое объектов, хорошо различимых нашей интуицией или нашей мыслью (автор определения – основатель теории множеств Кантор).
Пусть
–
множество.
где
–
элементы множества.
Применяются следующие выражения:
–
элемент
принадлежит
множеству
;
–
элемент
не
принадлежит множеству
;
–
является
подмножеством множества
.
Декартовым
(прямым) произведением
двух множеств
и
называется
множество вида:
где
–
упорядоченное множество, в котором
задан порядок элементов.
Пример
1.
Даны два множества
и
.
Декартовым произведением этих множеств
будет множество
Количество элементов декартового произведения определяется следующим образом (для нашего примера):
Квадратом множества называется декартовое произведение двух равных между собой множеств:
Бинарным
отношением
в
множестве
называется
подмножество его квадрата.
Пример
2.
Пусть
.
Квадрат этого множества запишется:
Бинарным отношением в этом множестве является, например, следующее:
Совокупность
множества
с
заданным в нем бинарным отношением
называется
графом
.
Любой граф можно представить в виде матрицы смежности графа. Для рассмотренного выше примера 2 матрица будет иметь следующий вид:
В этой матрице 1 – обозначает наличие связей между элементами множества, 0 – отсутствие связей между элементами множества.
Примечание: матрицы будем читать по принципу «строка – столбец».
Для нашего примера граф будет иметь следующий вид (рис.3.1):
Рис 3.1. Граф для примера 2
Две встречные дуги в графе могут быть заменены линией без стрелок на концах. Эта линия называется ребром графа (рис. 3.2).
Матрицы смежности обоих графов, представленных на рис 3.2., имеют вид:
Пример 3. Пусть требуется изобразить граф, представленный следующей матрицей смежности:
Граф, соответствующий этой матрице, изображен на рис. 3.3.
Рис. 3.3. Граф для примера 3
Пример 4. Имеется эскиз детали, представленный на рис.3.4.
Рис. 3.4. Эскиз детали для примера 4
Рис.3.5. Граф для примера 4
Требуется изобразить в виде графа и матрицы смежности конструктивные и размерные связи этой детали.
Граф для этого примера изображен на рис. 3.5.
На рис. 3.5 конструктивные связи детали изображены (тонкими линиями) в виде ребер графа, т.к. здесь безразлично, связана, например, конструктивно поверхность 2 с поверхностью 3 или наоборот (они просто связаны между собой). Размеры также проставлены между поверхностями, в этом примере нет приоритета, какая из поверхностей является базой при обработке детали. Поэтому и размерные связи изображены (толстыми линиями) в виде ребер, а не дуг графа. Если же важно будет указать, что одна поверхность является базовой, а положение другой задано относительно ее, то в графе связь между этими поверхностями следует изобразить в виде дуги, исходящей из вершины, отождествляющей первую поверхность и входящей в вершину, отождествляющую вторую поверхность.
Матрица смежности данного графа имеет следующий вид:
