Теория линейных пространств и линейных операторов

1

Определение абстрактного векторного пространства. Примеры линейных пространств. Линейная оболочка векторов. Линейное подпространство. Примеры подпространств.

2

Линейная зависимость, независимость векторов, базис, разложение вектора по базису, координаты вектора, размерность пространства.

3

Матрица перехода от базиса к базису. Координаты вектора. Преобразование координат векторов при переходе к новому базису (вывод).

4

Линейный оператор и его матрица. Сумма и разность операторов и их матрица. Тождественный оператор и его матрица.

5

Матрица линейного оператора. Матрица перехода от базиса к базису. Выражение координат в одном базисе через координаты в другом. Преобразование матрицы оператора при переходе к новому базису (вывод).

6

Образ и ядро, ранг, дефект линейного оператора. Пример: оператор проектирования.

7

Обратный оператор, его матрица. Вырожденный и невырожденный операторы. Теорема о необходимых и достаточных условиях невырожденности оператора (формулировка).

8

Аксиомы скалярного произведения в векторном пространстве над полем R. Матрица скалярного произведения. Вычисление скалярного произведения в фиксированном базисе. Евклидово пространство. Аксиомы скалярного произведения в векторном пространстве над полем C.

9

Унитарное пространство. Матрица скалярного произведения в унитарном пространстве. Вычисление скалярного произведения в фиксированном базисе. Матрица скалярного произведения в ортогональном базисе.

10

Ортогональные векторы. Линейная независимость и зависимость системы векторов. Теорема о линейной независимости ортогональной системы векторов (с док-вом).

11

Аксиомы унитарного пространства. Следствие для евклидова пространства.

12

Ортогональные векторы. Ортогональный базис. Алгоритм ортогонализации Грама-Шмидта.

13

Определение нормы вектора. Нормированное пространство. Ортонормированный базис. Определение нормы в пространстве со скалярным произведением. (с док-вом свойств).

14

Собственные числа и собственные вектора линейного оператора. Теорема об инвариантности собственных чисел относительно базиса. Алгоритм определения собственных чисел линейного оператора.

15

Эрмитово сопряженные матрицы. Эрмитовы матрицы. Свойства эрмитовых матриц их свойства. Примеры эрмитово сопряженных и эрмитовых матриц.

16

Сопряженный оператор и его матрица. Самосопряженный оператор и его матрица. Матрицы сопряженного и самосопряженного оператора в ортонормированном базисе.

17

Самосопряженный оператор. Теорема о собственных числах самосопряженного оператора. Теорема о собственных векторах самосопряженного оператора.

18

Теорема о свойствах собственных чисел. Самосопряженный оператор и его матрица. Приведение матрицы самосопряженного оператора с простым спектром к диагональному виду. Вид матрицы перехода к ортонормированному базису.

Основные понятия теории множеств: множество, элемент, отношения принадлежности. Собственные и несобственные множества. Основные операции над ними.

Последовательность. Общий член последовательности. Рекуррентное соотношение. Определение предела последовательности. Второй замечательный предел.

Основные теоремы о пределах последовательностей: об арифметических операциях над пределами, о сжатой переменной, о предельном переходе под знаком неравенства, теорема Вейерштрасса о пределе монотонной ограниченной последовательности.

Предел функции в точке на языке . Предел функции в точке на языке U_U_. Предел функции в точке на языке последовательностей. Теорема об эквивалентности 3-х определений предела (формулировка). 1-й замечательный предел.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Теорема о связи между ними. Эквивалентные бесконечно малые (большие). Определение о-малых и О-больших функций.

Односторонние пределы. Определение предела функции в точке через односторонние пределы.

Определение непрерывности в точке и на интервале. Непрерывность элементарных функций. Теореме о вложенных отрезках. Свойства непрерывных функций на отрезке: 1-я 2-я теоремы Больцано–Коши, теоремы Вейерштрасса.

Классификация точек разрыва: разрывы I-го, II-го рода, устранимые разрывы.

Задачи, приводящие к понятию производной. Определение понятие производной и дифференциала функции. Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к кривой.

Правила дифференцирования суммы и произведения. Производная сложной функции. Производная отношения двух функций.

Односторонние производные и их геометрический смысл.

11. й

Основные теоремы дифференциального исчисления: теорема Ферма (необходимое условие экстремума для гладких функций), теоремы Ролля, Лагранжа, Коши-Лагранжа (формулировка).

Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида 0/0, /.

Многочлен Тейлора для данной функции в данной точке. Теорема о формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа (без док-ва).

Общий план исследования функций с помощью производных.

Определение асимптоты функции. Виды асимптот и способы их определения.

Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла.

Таблица первообразных. Основные формулы интегрирования.

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определение определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Свойства определенного интеграла. Оценки определенного интеграла.

Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о его производной

Понятие несобственного интеграла. Определение сходимости несобственного интеграла. Главное значение в смысле Коши. Пример о сходимости интегралов от степенных функций.

21. 1

Матричное исчисление. Матрица. Виды матриц. Арифметические действия над ними и их свойства. Транспонирование. Элементарные преобразования матриц. Матричная запись С.Л.У. Матрица коэффициентов и расширенная матрица системы линейных уравнений.

22. 2

Определители матриц. Решение С.Л.У. 2-го порядка. Определение перестановки, инверсии, порядка перестановки. Определитель n-го порядка. Примеры: определители 2-го,3-го порядков.

Свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения элемента. Теорема о разложение определителя по строке (столбцу). Определители диагональных и треугольных матриц. Практические алгоритмы вычисления определителей.

Обратная матрица. Определение и свойства. Невырожденные матрицы. Союзная матрица. Теорема об обратной матрице. Правило Крамера. Ортогональные матрицы.

Системы линейных уравнений. Классификация С.Л.У. Матричная запись С.Л.У. Матрица коэффициентов и расширенная матрица системы. Решение квадратных систем методом Крамера.

Исследование произвольных С.Л.У. Ранг системы. Теорема Кронекера - Капелли. Алгоритм Гаусса решения произвольной С.Л.У. Базисный минор. Свободные и базисные переменные. Представление решение в базисной форме.

Задачи, сводящиеся к решению С.Л.У..Построение обратной матрицы методом Гаусса. Решение систем с одинаковой матрицей коэффициентов. Собственные числа и собственные вектора матрицы. Характеристический многочлен.

Понятие о векторном пространстве Rⁿ. Действия над векторами и их свойства. Понятие о линейной комбинации векторов. Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Признак линейной зависимости векторов. Свойства собственных векторов.

Квадратичные формы и их матрицы. Определение знакоопределенности квадратичных форм. Критерий Сильвестра (без док-ва). Следствие