6. Проверка гипотезы об однородности выборок

Пусть имеется m выборок объемами n₁,..., n_m, извлеченных из различных совокупностей. Измеряемая величина в каждой из выборок может иметь k уровней B₁, ..., B_k. Требуется проверить гипотезу о том, что исходные совокупности распределены одинаково. Обозначим n_ij - число наблюдений в i-й выборке, имеющих уровень B_j, . Имеем таблицу m´k наблюдений налогично предыдущему пункту 5. Можно показать, что для проверки гипотезы справедлива процедура (11) - (12).

Пример 5. Имеются данные [3] о наличии примесей серы в углеродистой стали, выплавляемой двумя заводами (см. таблицу 6).

Таблица 6. Число плавок

	Содержание серы, 10-2%
	0¸2	2¸4	4¸6	6¸8	Сумма
Завод 1 Завод 2	82 63	535 429	1173 995	1714 1307	3504 2794
Сумма	145	964	2168	3021

Проверим гипотезу о том, что распределения содержания серы (нежелательный фактор) одинаковы на этих заводах.

По (11) находим: = 3.39. Число степеней свободы f = (2-1)´(4-1) = 3; квантиль уровня 0.95

h = Q(0.95, 3) = 7.8.

Полученное нами из опыта значение 3.39 лежит в области допустимых значений, и потому у нас нет оснований считать, что содержание серы в стали этих заводов имеют различные распределения.

Выполнение в пакете STATISTICA

Образуем таблицу 2 ´ 4, в которую занесем данные; столбцы назовем, например, S1 ¸ S4 (сера) , а строки - Z1, Z2 (заводы). Работаем в модуле Log - Linear Analysis:

Analysis - Startup Panel - в поле Input file: Frequencies w/out coding variables (частоты без кодирующих переменных) - Variables:Select All - OK - Specify table (спецификация таблицы): Factor Name: S, No. of levels (число уровней): 4, Factor Name: Z, No. of levels: 2 - OK - OK. - в окне Log - Linear Model Specification выполним Test all marginal.

В таблице Results of Fitting... в последней строке столбца Person Chi-Squ получаем Х² = 3.59, число степеней свободы Degrs of Freedom f = 3, и уровень значимости Probab. p = 0.31.поскольку эта вероятность не мала (не является значимой), гипотезу об одинаковом распределении содержания серы в металле на двух заводах можно принять (вернее, наблюдения этому не противоречат).

7. Задание

1. Выполнить все описанные примеры.

2. Проверить генератор случайных чисел (пример 1 в п. 4).

3. Проверить гипотезу о типе распределения на основе сгенерированной по заданному в таблице 7 закону выборке объема n. Проверить три гипотезы: о нормальности, о равномерности и о показательности.

Таблица 7. Исходные данные

№ варианта	1	2		3	4		5
Распределение Объем	N[0,1] 80	R[-1,1] 100		E(3) 150	N(10,4) 80		R[0,10] 100
№ варианта	6		7	8		9		10
Распределение Объем	E(5) 150		N(15,4) 80	R[5,15] 100		E(10) 150		R[20,25] 80

4. Проверить гипотезу об однородности трех выборок.

Сгенерировать три выборки объемами n₁= 180,n₂= 100,n₃= 120 для заданного в таблице 8 распределения. Провести их группирование на 8 ÷ 10 интервалах. Сделать все для 2-х вариантов:

а) параметры одинаковы;

б) параметры различны.

Таблица 8. Исходные данные.

N	Тип	вариант1	вариант 2
		a1 = a2 = a3	a1	a2	a3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	N(a, 1) E(a) Po(a) N(a, 2) E(a) Po(a) N(a, 3) E(a) Po(a) N(a, 4)	10 10 10 20 20 20 30 30 30 40	9.8 8.0 9.5 19.5 16.0 19.0 29.4 24.0 28.0 39.0	10 10 10 20 20 20 30 30 30 40	11.2 12.0 11.5 21.5 24.0 21.0 30.6 36.0 32.0 41.0

выполнение в пакете STATISTICA

Группирование провести процедурой Frequency tables, и из трех таблиц сформировать одну. Гипотезу об однородности проверить аналогично п.6.

Отчет по работе должен содержать:

1) краткое описание критерия хи-квадрат;

2) постановки конкретных задач;

3) несколько значений анализируемых выборок;

4. сгруппированные данные;

5) результаты основных вычислений и статистические выводы.

12