1.5. Орташа мәндер туралы теоремаларға қатысты жаттығулар
1.
f(x)
= 4
функциясына
кесіндісінде
Лагранж формуласын қолдануға бола ма?
Шешуі.
Берілген функция
кесіндісінде үзіліссіз және әрбір x
нүктесінде туындысы бар. Яғни, Лагранж
теоремасының шарттары орындалады.
немесе f´(c)
= 0
болатындай c
нүктесін
12
теңдеуінен табамыз: c
=
.
2.
Көрсетіңіздер:
санынан артық тізбектес екі натурал
санның квадрат түбірлерінің бір-бірінен
алшақтығы
–ден
аз болады.
Дәлелдеуі.
кесіндісінде
f(x)
=
функциясына
Лагранж формуласын қолданамыз :
f(n+1)
– f(n) =
Егер
n
болса,
онда c
Олай
болса,
яғни
3. Дәлелдеңіздер: егер ақырлы немесе ақырсыз (a, b) интервалында f(x) функциясының шенелген f'(x) туындысы бар болса, онда f(x) функциясы (a, b) интервалында бірқалыпты үзіліссіз болады.
Дәлелдеуі.
деп
алсақ, Лагранж формуласы бойынша
жұбы
үшін :
Егер
бойынша
санын
болатындай
етіп таңдасақ, онда
теңсіздігінен
теңсіздігі
орындылытындығы , яғни функцияның (a, b)
аралығында бірқалыпты үзіліссіздігі
шығады.
4.
f(x)
= 3
функциясы
кесіндісінде
Ферма теоремасы шарттарын қанағаттандыра
ма?
Жауабы: жоқ
5. Берілген функция үшін көрсетілген аралықта Ферма теоремасы шарттары орындалатынын тексеріңіздер және f΄(c) = 0 болатын x = c мәнін табыңыздар:
a)
f(x)
= 3
ә)
f(x)
= xlnx, 0
б)
f(x)
= -7
в)
f(x)
= -
6. f(x) функциясы үшін көрсетілген аралықта Ролль теоремасының шарттары орындала ма, орындалса, f΄(c) = 0 болатын c мәні қандай?
1)
f(x) =
Жауабы: иә, с = 1,5;
2)
f(x) =
Жауабы:иә, с = 2.5;
3)
f(x)
=
Жауабы:иә, с = 0.5;
4)
f(x)
= 4-
Жауабы: с = -3.5;
5)
f(x)
=
Жауабы:жоқ, у´(0) - шенелмеген;
6)
f(x)
=
Жауабы:иә, с = 1.5;
7)
f(x)
=
Жауабы:жоқ, f’(2) жоқ;
8)
f(x)
=
Жауабы:иә,
с
=
;
9)
f(x)
= ln
sinx,
Жауабы:иә, с = ;
10)
f(x)
=
Жауабы:иә, с = ;
11)
f(x)
=
1
Жауабы:иә, с = 1.5;
12)
f(x)
= 1-
Жауабы:иә,
у´
;
13)
f(x)
=
Жауабы:иә, с = 4;
14)
f(x) = tg x, 0
Жауабы:
жоқ, x
=
;
7)
f(x)
=
берілген.
f
(0) = f (16).
Бірақ f΄(x)
=
туындысы
(0, 16) интервалының ешқандай нүктесінде
0–ге тең емес. Бұл Ролль теоремасына
қайшы ма?
Жауабы:жоқ, өйткені теореманың шарты орындалмай тұр: f'(8) жоқ.
8) Көрсетілген аралықта берілген функция үшін Лагранж формуласын жазыңыздар:
a)
y
= sin 3x,
б)
y
= arc sin 2x,
ә)
y
= x (1-ln x) ,
9) Берілген функция үшін Лагранж теоремасының дұрыстығын тексеріңіздер. Дұрыс болса, Лагранж формуласындағы x = c нүктесін көрсетіңіздер:
1)
y
= 2x -
,
1
x
3;
Жауабы: 2
2) y = , 0 x 1;
Жауабы: ln(e-1);
3) y = - 4x , 1 x 5;
Жауабы: 3
4)
y
=
,
x
;
Жауабы:
;
5)
y
=
, 0
x
3;
Жауабы: дұрыс емес, f’(1) жоқ
6)
y
=
,
-2
x
2;
Жауабы:
;
7) y = ln x, 1 x e;
Жауабы:е-1;
8)
y
=
,
0
x
a;
Жауабы:
;
9)
y
=
, -
x
.
Жауабы: жоқ, y’(0) жоқ;
10) Лагранж формуласын қолданып, теңсіздікті дәлелдеңіздер :
1)
2)
1
;
3)
b – a ;
4)
5)
;
6)
n
1;
7)
n
1;
8)
0
.
11)
кесіндісінде
(
)
берілген
f(x)
және
функциялары
үшін Кoши
формуласын жазыңыздар:
1)
f(x)
= sinx,
2)
f
(x) =
.
12) Берілген функциялар үшін Коши теоремасының дұрыстығын тексеріңіздер және x = c нүктесін табыңыздар:
1)
f(x)
=
Жауабы: с = 2;
2)
f(x)
= -
Жауабы:
с
=
;
3)
f(x)
= 2
Жауабы:
с
=(
4)
f(x)
= cosx,
Жауабы:
с
=
;
5)
f(x)
=
Жауабы: жоқ, g(-3)=g(3);
6)
f(x)
=
Жауабы:
с
=
;
13)