1.2. Ролль теоремасы

Ролль теоремасы (туындының нольдік мәні туралы). Егер f(x) функциясы: 1) сегментінде үзіліссіз, 2) ең болмағанда интервалында ақырлы туындылы, 3) сегменттің шеткі нүктелеріндегі мәндері өзара тең болса, онда функцияның туындысы нольге айналатын интервалында ең болмағанда бір с нүктесі табылып,

f ' (c) = 0 ( a< c < b )

болады.

Дәлелдеу. f(x) функциясы сегментінде үзіліссіз болғандықтан Вейерштрасстың екінші теоремасы бойынша f(x) сол сегментте өзінің ең үлкен мәні M мен ең кіші мәні m –ді қабылдайды. Бірақ ол қабылданатын мәндер мына екі жағдайдың бірінде болуы мүмкін:

1. M=m. Бұл жағдайда сегментінде функция өзінің тұрақты

мәнін сақтайды, өйткені: біріншіден, барлық х - тер үшін

m ≤ f(x) ≤ M,

екіншіден, m=M. Демек, сегментінің кез келген нүктесінде f(x) функциясының туындысы нольге тең болады, сол себепті сегментінің кез келген нүктесін с нүктесі деп қарауға болады, яғни:

f ' (c) = 0 ( a< c < b ).

2. M>m. Теореманың шарты бойынша f(a)=f(b). Олай болса

функцияның m және M мәндері сегменттің екі шетінде қабылдануы мүмкін емес. Ендеше, ол мәндердің біреуі сегменттің ішкі нүктелерінің бірінде, с нүктесінде қабылдануы тиіс, яғни: a< c < b теңсіздіктерін қанағаттандыратын бір с нүктесінде не m = f(c), не M = f(c) болуы міндет.

Олай болса, Ферма теоремасының шарттары түгелдей орындалады, демек,

f ' (c) = 0.

Сонымен бұл жағдай үшін де теорема дәлелденді.

Ескерту. Теореманың үш шартының біреуі орындалмаса да, теоремадағы қорытынды дұрыс болмайды. Бұны мына мысалдар арқылы көрсетелік.

1-мысал. Бізге сегментінде

f (x) = x – E(x) (4)

функциясы берілсін. Х=1 нүктесінде бұл функция үзіліске ұшырайтыны анық. Олай болса, Ролль теоремасының бірінші шарты орындалмайды. Сол себепті (0, 1) интервалының бойында (4) фунцияның туындысы нольге айналатын бірде-бір нүкте жоқ.

2-мысал. Егер f(x)= функциясын сегментінде қарастырсақ, ол функция үшін Ролль теоремасының үшінші шарты орындалмайтынына көзіміз жетеді, өйткені

f (-2) .

Олай болса, (-2, 0) интервалының бірде-бір нүктесінде (5) функцияның туындысы нольге айналмайды.

3-мысал. Егер

f(x)=

функциясы берілсе, анықталу облысының ішкі нүктесі болып табылатын х нүктесінде функцияның туындысы жоқ болады, өйткені: f тең де, f´(1+0) = -1 . Демек, бұл функция Ролль теоремасының екінші шартын қанағаттандырмайды. Сол себепті сегментінің бірде-бір ішкі нүктесінде берілген функцияның туындысы нольге айналмайды.

Геометриялық мағынасы:

y = f(x)

қисығының бойында ең болмағанда бір Р нүктесі табылып, ол нүкте арқылы қисыққа жүргізілген жанама абсциссалар осіне параллель болады (1-cурет) (жанаманың бұрыштық коэффиценті нольге тең)

у

Р

В

0 а с в х

1-сурет

Теоремадан мынадай маңызды салдарлық тұжырым шығады: дифференциалданатын функцияның кез келген екі нақты түбірінің арасында оның туындысының ең болмағанда бір түбірі болады.

Мысалдар:

1-мысал. f (x) = 1- функциясы және нүктелерінде 0-ге тең , бірақ f´(x) , -1 . Ролль теоремасы шарттарымен қандай қайшылық бар?

Шешуі. Берілген функция кесіндісінде үзіліссіз және f(-1) = f(1) = 0 , яғни, Ролль теоремасының екі шарты орындалып тұр. Үшінші шарты орындалмайды, себебі x=0 нүктесінде f(x) = 1- функциясының туындысы жоқ:

=

=

2-мысал. 3 теңдеуінің бір ғана нақты түбірі бар екенін дәлелдеу керек.

Дәлелдеуі. Берілген f(x) = 3 функциясы тақ дәрежелі көпмүшелік болғандықтан, теңдеудің ең болмағанда бір нақты түбірі болатындығы түсінікті. Нақты түбірінің тек біреу ғана екенін дәлелдеу үшін кері жориық: теңдеудің екі нақты және түбірі бар болсын. Онда аралығында f(x) = 3 функциясы Ролль теоремасының барлық шарттарын қанағаттандырады: үзіліссіз f( ) = f( ) = 0 және f´(x) туындысы кез келген x үшін бар. Сондықтан, теорема бойынша, нүктесі табылып, f´(ξ) = 0 болуы тиіс.

Бірақ бұл мүмкін емес, себебі: f´(x) = 15( ) . Осы қайшылық ұйғарымды теріске шығарады.

3-мысал. Дәлелдеңіздер: егер нақты коэффицентті

(x) = , көпмүшелігінің барлық түбірлері нақты сандар болса, онда оның туындыларының түбірлері де нақты сандар болады.

Дәлелдеуі. Көпмүшелік түбірлері әртүрлі деп ұйғарсақ , Ролль теоремасы бойынша, туындысының, n-1 , туындысының n-2, т.с.с. нақты түбірлері бар болып шығады. Бірақ дифференциалдау нәтижесінде көпмүшелік реті 1-ге төмендейтін болғандықтан, туындылардың барлық түбірлері нақты сандар болады. Көпмүшеліктің еселі түбірі бар болса, ол көпмүшеліктің туындысының да түбірі , яғни нақты сан болады.