Тема 8. Критерии проверки параметрических гипотез. Различение двух простых гипотез.

1. Критерии проверки параметрических гипотез.

Пусть наблюдение имеет неизвестную функцию распределения, зависящую от параметра, где– множество допустимых значений параметра.

Пусть – множество функций распределения, получаемых при всевозможных допустимых значениях параметра:

.

Основная гипотеза заключается в том, что неизвестная функция распределенияпринадлежит некоторому заданному, фиксированному подмножеству:

:.

Поскольку каждой функции из множества соответствуют определенное значение параметра, то множеству функцийсоответствует подмножество параметровтакое, что:

.

Отсюда следует, что гипотеза может быть переформулирована в терминах параметра: гипотезазаключается в том, что значение параметра:

:.

Именно поэтому гипотезу принято называть параметрической.

Альтернативная гипотеза в данном случае образована множеством всех функций, которые не попали в множество:

:,

.

В терминах параметра альтернативная гипотезазаключается в том, что:

:,

.

Предположим, что имеется статистический критерий проверки гипотезы , тогда для каждой реализации наблюдениякритерий либо принимает гипотезу, либо отклоняет гипотезу(принимает гипотезу). Пусть– выборочное пространство (множество всех возможных реализаций наблюдения):

,

тогда в множестве можно выделить подмножество реализаций, для которых критерий принимает гипотезу, и подмножество реализаций, для которых критерий принимает гипотезу. Фактически задание любого критерия сводится к заданию разбиения множествана множестваи:

,

,

поэтому для обозначения критерия далее будем использовать обозначение .

С каждым критерием связаны две ошибки: ошибка первого рода – критерий отклоняет гипотезу в том случае, когда она верна, ошибка второго рода – критерий принимает гипотезув том случае, когда она не верна (верна альтернативная гипотеза).

Определение 8.1.

Для критерия вероятностью ошибки первого роданазывается вероятность:

,

.

где вероятность вычисляется при условии, что функция распределения наблюдения есть функция.

Действительно, если гипотеза верна, то истинное значение параметра, и критерий отклоняет гипотезу, если наблюдениепопадает в множество, поэтому вероятность ошибки первого родаесть вероятность того, что наблюдениеокажется в множестве, которая вычисляется с функцией распределенияпри значении параметра. Заметим, что вероятность ошибки первого рода, вообще говоря, зависит от значения параметра, и поэтому может оказаться различной при различных значениях параметра.

Определение 8.2.

Для критерия вероятностью ошибки второго роданазывается вероятность:

,

,

где вероятность вычисляется при условии, что функция распределения наблюдения есть функция.

Действительно, если гипотеза не верна, тогда истинное значение параметра, и критерий принимает гипотезу, если наблюдениепопадает в множество, поэтому вероятность ошибки второго родаесть вероятность того, что наблюдениеокажется в множестве, которая вычисляется с функцией распределенияпри значении параметра. Заметим, что опять же вероятность ошибки второго родазависит от значения параметраи поэтому может оказаться различной при различных значениях параметра.

Поскольку каждый критерий однозначно определяет разбиение выборочного пространства на подмножестваи, то с каждым критерием однозначно связаны функции ошибок первого и второго родов. Крайне желательно, чтобы вероятности ошибок были как можно меньше, поэтому следует стремиться построить такой критерий, для которого вероятности принимают наименьшее значение.

В общем случае функции вероятностей ошибок первого и второго родов не связаны каким-либо строгим соотношением, поскольку вычисляются при различных функциях распределения и, которые могут быть никак не связаны между собой. Тем не менее, как правило, попытки уменьшения значений вероятностей одной ошибки приводят к увеличению значений вероятностей другой ошибки. Этот эффект возникает из-за того, что функции вероятности ошибок связаны через множестваи. Уменьшение вероятностей ошибок первого родав большинстве случаев возможно только за счет «сужения» множества, которое приводит к «расширению» множества, и как следствие, совершенно точно не приводит к уменьшению вероятностей ошибок второго рода, а в большинстве случаев приводит к увеличению.

В силу невозможности одновременного уменьшения вероятностей ошибок первого и второго рода иногда поступают следующим образом: изначально задаются некоторым уровнем значимости и рассматривают множество критериев, для которых функция вероятности ошибки первого родане превосходит значения:

.

Далее сравнивают функции вероятностей ошибок второго рода всех критериев из множества . В общем случае критерииииз множествамогут оказаться несравнимыми, поскольку вполне возможно при одних значениях параметраимеет место неравенство, а при других значениях параметранаоборот, тем не менее некоторые критерии все же оказываются сравнимыми.

Определение 8.3.

Критерий равномерно мощнеекритерия, если:

1) :,

2) :.

Определение 8.4.

Критерий называетсяравномерно наиболее мощнымкритерием, если критерийравномерно мощнее любого другого критерия в классе.

В случае если множество состоит из одной точки, то равномерно наиболее мощный критерий иногда называютнаиболее мощным критерием(опуская слово равномерно).

В некоторых случаях равномерно наиболее мощного критерия может не существовать.