Передаточные функции и временные характеристики звеньев.
Основной характеристикой
звена САУ является его дифференциальное
уравнение. Однако наряду с ним в теории
управления нашли применение и другие
характеристики. Важнейшей из них является
передаточная функция, получаемая на
основе применения преобразования
Лапласа к исходному дифференциальному
уравнению звена. Прямое и обратное
преобразования Лапласа определяются
следующими выражениями:
;
,
где y(t)
– оригинал; Y(s)
– изображение функции y(t);
s – комплексная
переменная;
и
– символы прямого и обратного
преобразования Лапласа.
Наиболее важные свойства преобразования Лапласа, а также соответствие между рядом оригиналов и изображений приведены в приложении.
Если в дифференциальном
уравнении звена (2.1) положить
,
то после применения прямого преобразования
Лапласа получим алгебраическое уравнение
относительно изображений:
,
откуда
.
(2.7)
Пepeдаточная функция звена W(s) есть отношение изображения выходного сигнала к изображению входного сигнала при нулевых начальных условиях.
Если взять
дифференциальное уравнение звена в
операторной форме (2.3), то формально W(s)
получим делением оператора B(p)
на оператор A(p)
с заменой p на s:
.
Из (2.7) следует связь изображений входа и выхода через передаточную функцию:
.
(2.8)
Звено САУ на структурных схемах изображают так, как показано на рис. 2.3.
Рис. 2.3 |
При использовании уравнения (2.2) передаточную функцию звена будем записывать в виде
|
,
(2.9)
где N(s) и L(s) – многочлены с единичными коэффициентами в младших членах.
Полином L(s)
будем называть xapактepистичecким
полиномом, а уравнение
– характеристическим уравнением
звена.
Следующий класс характеристик звена – это временные характеристики: весовая и переходная функции звена.
Если рассматривать W(s) как изображение, то приходим к понятию весовой (импульсной) функции звeнa w(t), формально определяемой как обратное преобразование Лапласа от передаточной функции
. (2.10)
Вeсовая функция звена w(t) ecть реакция звена на входной сигнал в виде дельта-функции, которая определяется соотношением
, причем
Дельта-функция
обладает фильтрующим свойством:
.
Если положить
,
то
и
,
откуда
,
т.е.
– реакция звена на входной сигнал
.
К такому же результату
можно прийти следующим образом. Правой
части (2.8) соответствует в области
оригиналов свертка функций
и
:
.
(2.11)
Если в (2.11) положить
,
то на основании фильтрующего свойства
дельта-функции будем иметь
.
Пepexодной
функциeй звена
называется реакция звена на единичное
ступенчатое воздействие
Так как
,
то
и по определению
. (2.12)
Так как
,
тo
,
а
.
Частотные характеристики звеньев.
Частотные характеристики
определяют динамические свойства
звеньев при воздействии на них
гармонических сигналов. формально
частотные характеристики получаются
из передаточной функции W(s)
при
,
где
– угловая частота, имеющая размерность
[рад/с]. Сделав такую замену, получим
(2.13)
т.е. частотная
передаточная функция
есть прямое преобразование Фурье от
весовой функции w(t).
Комплекснозначную функцию частоты будем называть амплитудно-фазовой частотной xаpактepистикой (АФЧХ) звена.
Как любое комплексное число АФЧХ можно представить в виде
,
(2.14)
где
,
(2.15)
.
(2.16)
Если передаточная
функция звена представлена в виде
,
то
.
При этом, очевидно,
(считаем
)
и
.
В соответствии с
(2.14)–(2.16) имеем еще ряд частотных
характеристик:
– амплитудно-частотная xаpактepистика
(АЧХ);
– фазово-частотная xаpактepистика
(ФЧХ);
,
– соответственно вeществeнная
и мнимая частотные характеристики.
Рассмотрим физический
смысл частотных характеристик. Если на
вход звена с передаточной функцией W(s)
поступает гармонический сигнал
,
то в установившемся режиме после
затухания переходной составляющей
выходной сигнал
будет также гармоническим:
,
т.е. той же частоты, но измененных
амплитуды и фазы.
Изменение амплитуды
определяется модулем
,
а фазы – аргументом
на соответствующей частоте
.
На практике для
наглядности частотные характеристики
изображают в виде графиков при изменении
частоты
от 0 до
.
Частотные характеристики
обладают следующими свойствами:
,
,
,
,
которые непосредственно следуют из
(2.14)–(2.16). Другими словами: характеристики
,
являются четными,
,
– нечетными. В силу этого графики при
изменении частоты oт –∞
до 0 не строятся. АФЧХ
представляет собой годограф на комплексной
плоскости с координатами u,
v
или А,
при изменении
от 0 до
.
На рис. 2.4 и 2.5 представлены иллюстративные графики частотных характеристик некоторого звена.
Рис. 2.4
Штриховой линией
показаны части графиков, соответствующие
.
Вполне понятно, что из графика (см. рис.
2.4) нетрудно получить графики а, б или
соответственно в, г
(см. рис. 2.5) и наоборот.
Рис. 2.5
На практике часто
применяются соответствующие логарифмические
частотные характеристики: логаpифмичeская
амплитудная частотная характеристика
(ЛАЧХ)
и логарифмическая фазовая частотная
xаpактepистика
(ЛФЧХ)
,
графики которых строятся в логарифмическом
масштабе. При построении
по оси ординат откладывается величина
,
единицей измерения которой является
децибел, а по оси абсцисс –
частота
[1/с] в логарифмическом масштабе, т.е.
величина
.
Увеличение
в 10 раз соответствует приращению
вдоль оси ординат на 20 дБ. При построении
ЛФЧХ величину
откладывают по оси ординат в обычном
масштабе (в градусах или радианах), a
– в логарифмическом масштабе.
На рис. 2.6 приведены
иллюстративные графики ЛАЧХ и ЛФЧХ для
некоторого звена. Частота
,
при которой
,
носит название частоты среза.
Левее
значения
(усиление), правее –
(ослабление амплитуды гармонического
сигнала).
Рис. 2.6