Точность импульсных систем.
Точность замкнутой
импульсной системы (рис. 1.3) в дискретные
моменты времени
определяется сигналом ошибки
(рассогласования)
,
который характеризует текущую ошибку.
Для оценки точности более удобно ввести,
как это сделано для непрерывных систем,
понятие установившейся ошибки
,
которая определяется для достаточно
больших моментов времени
после затухания переходной (свободной)
составляющей процессов и в отличие от
текущей ошибки часто является числом.
Итак, при вычислении
будем полагать, что
.
Изображение сигнала ошибки и изображение входа связаны соотношением
,
где передаточную функцию разомкнутой системы будем брать в форме (1.22)
.
Обычно оценивается
точность импульсной системы на два вида
воздействий: полиномиального
и гармонического
.
Частными случаями
полиномиального воздействия являются
единичная ступенчатая функция (скачок
по положению)
,
линейное воздействие (скачок по скорости)
и квадратичное воздействие (скачок по
ускорению)
.
В теории
-преобразования
существует теорема о конечном значении
решетчатой функции (оригинала)
.
Используя эту теорему, можно написать
, (1.57)
где
.
Рассмотрим частные
случаи. Пусть
,
,
тогда
и из (1.57) нетрудно получить
.
Т.к.
соответствует статической системе, то
такую ошибку называют статической.
Пусть
,
,
тогда
и
из (1.57) получим
.
Такую ошибку будем называть скоростной.
Нетрудно проверить, что в данном случае
статическая ошибка будет равно нулю.
Пусть
,
статическая и скоростная ошибки будут
равны нулю, появится ошибка по ускорению.
При этом все ошибки будут обратно
пропорциональны величине
.
Итак, можно сделать
вывод, который является общим для
импульсных систем: точность системы
тем выше (ошибки тем меньше), чем выше
порядок астатизма системы и больше
величина
.
Так как
прямо пропорциональна коэффициенту
усиления
линейной, непрерывной части системы
,
то увеличение
будет приводить к повышению точности
импульсной системы.
Точность системы в
установившихся режимах также можно
описывать по коэффициентам ошибок
,
,
…, которые имеют аналогичный непрерывным
системам смысл и определяются по
выражению
:
,
. (1.58)
В частности для
системы с астатизмом
го
порядка
.
Рассмотрим анализ
точность системы при воспроизведении
гармонического сигнала
,
амплитуду которого будем полагать
равной единице. Тогда в соответствии с
(1.43) в установившемся режиме на выходе
замкнутой системы сигнал будет иметь
вид
, (1.59)
а ошибка в установившемся режиме будет
, (1.60)
где
,
,
,
соответствующие
значения модулей и сдвигов фаз,
определенные по частотным характеристикам
,
.
Обычно в теории систем автоматического управления считают, что ошибки воспроизведения гармонического сигнала по фазе не имеют существенного влияния на работу САУ. Ошибки воспроизведения амплитуды из (1.59), (1.60) будут
,
. (1.61)
Обычно
,
однако в диапазоне низких частот при
малом
можно считать
.
Так же как и для
непрерывных систем, для замкнутой
импульсной системы можно ввести понятие
полосы пропускания: это диапазон частот
от 0 до
,
в котором ошибка воспроизведения
гармонического сигнала
не превышает заданной величины
,
т.е.
.
Так как
,
а
,
то для определения
и
в (1.61) можно использовать АФЧХ разомкнутой
системы
.
Если частота входной
гармоники достаточно низкая, то несложно
показать, что при
для статических систем
,
и
.
Для астатических систем
,
и
.
Таким образом, на
точность воспроизведения гармонического
сигнала влияет порядок астатизма и
коэффициент усиления
непрерывной части системы, входящей в
.
В заключение отметим, что все изложенное имеет смысл только для устойчивых систем.