2. Уравнения звеньев.

Система автоматического управления (САУ) – это совокупность соединенных в определенной последовательности элементов и устройств, которые будем называть звеньями. Примерами звеньев могут служить объекты управления, усилительно-преобразовательные устройства, исполнительные двигатели, тахогенераторы, различного рода датчики, цифровые устройства, в том числе микропроцессоры и управляющие ЭВМ и т.п.

Под линейной непрерывной стационарной системой с сосредоточенными параметрами будем понимать систему, которая в целом так же, как и отдельные звенья, описывается линейными обыкновенными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.

На рис. 2.1 изображено звено САУ, имеющее один входной и один выходной сигналы, являющиеся скалярными величинами ( , где R – множество действительных или комплексных чисел). В дальнейшем будем интерпретировать все сигналы в системе как функции текущего времени t, т.е. , где .

Рис. 2.1

Получение уравнений, описывающих поведение отдельных звеньев в каждом конкретном случае, является задачей той или иной отрасли науки, например, электротехники, электроники, механики и т.п. и не является предметом данного курса. Поэтому будем по-

лагать, что звено в общем случае описывается дифференциальным уравнением следующего вида:

, (2.1)

где ; .

Коэффициенты зависят от конструктивных параметров и, возможно, от режима работы звена. Порядок n дифференциального уравнения (2.1) будет определять также и соответствующий порядок звена. На практике звенья описываются дифференциальными уравнениями низкого порядка, обычно .

Для полного математического описания процессов в звене следует задавать начальные условия , которые чаще всего будем полагать нулевыми.

В теории автоматического управления наряду с (2.1) уравнения звеньев записывают в стандартной форме, когда коэффициенты при переменных и равны единице. Вынося за скобки и , имеем

,

или, вводя обозначения , , …; , ,…, получим следующий вид дифференциального уравнения:

, (2.2)

где – постоянные времeни, имеющие размерность [с], а K – коэффициент пepeдачи (усилeния) имеет размерность [разм. х₂ / разм. х₁].

Уравнения (2.1) и (2.2) можно записать также в операторном (символическом) виде, вводя дифференциальный оператор такой, что . Тогда уравнение (2.1) может быть записано в операторной форме: . обозначая , , будем иметь

. (2.3)

По виду дифференциального уравнения (2.1) звенья делятся на три типа. Если и , то такие звенья относятся к позиционным; если , а , то к дифференцирующим; если , , то к интегрирующим.

Позиционные звенья имеют статичeскую хаpактepистику. Пусть х₁ = const, х₂ = const, тогда и .

Уравнения (2.1)–(2.3) описывают поведение звеньев в динамических режимах, поэтому в дальнейшем будем называть их уравнениями динамики.

3. Линеаризация уравнений динамики звеньев.

Реальные устройства САУ обычно являются нелинейными. Однако при определенных условиях их можно заменить линейными моделями, что значительно упрощает исследование САУ. Операция замены нелинейных уравнений линейными носит название линеаризации. Существуют различные способы линеаризации уравнений динамики. Наиболее распространенным является способ, базирующийся на разложении нелинейных функций в ряд Тейлора.

Пусть звено CAУ описывается нелинейным дифференциальным уравнением

, (2.4)

где – входной, a – выходной сигналы.

Рассмотрим установившийся режим работы звена, когда на входе действует постоянный сигнал . Тогда существует постоянное значение выходного сигнала , которое можно найти из уравнения (2.4), полагая (очевидно, ). Связь установившихся значений сигналов х₁ и х₂ будет задаваться уравнением установившегося режима

, (2.5)

из которого при заданном можно найти величину .

Введем отклонения от установившегося режима , и разложим функцию f в (2.4) в ряд Тейлора относительно координат :

,

где

,

и т.д.

Учитывая, что , и ограничиваясь в ряде Тейлора только линейным членом, получим

. (2.6)

Уравнение (2.6) является линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами и носит название линeаpизованного уpавнeния.

Приведенной процедуре линеаризации можно дать геометрическую интерпретацию. Уравнение установившегося режима (2.5) определяет нелинейную статическую характеристику звена (рис. 2.2).

Рис. 2.2

Нелинейная функция в точке разложения с координатами аппроксимируется линейной: касательной в точке разложения. Отметим ряд существенных моментов в процедуре линеаризации. 1. Линеаризация допустима, если нелинейная функция в точке разложения является аналитической (т.е. дифференцируема бесконечное число раз). Для звена, имеющего статическую

характеристику с разрывом, линеаризация недопустима. САУ, содержащие такие звенья, должны рассматриваться как нелинейные.

2. Коэффициенты линеаризованного уравнения (2.6) зависят от координат точки разложения . Изменение координат дает уравнение с другими коэффициентами.

3. Линеаризованное уравнение (2.6) и исходное (2.4) будут близки между собой только в окрестности точки разложения. это соответствие будет тем лучше, чем меньше отклонения координат от установившегося режима и чем ближе нелинейная функция в точке разложения к своей касательной. Дать определенные количественные оценки такой близости затруднительно.

рассматриваемые далее САУ будем полагать линейными, считая, что их звенья, если это необходимо, на предварительном этапе подверглись процедуре линеаризации.